容易混淆的“恒成立”问题与“存在成立”问题.pdfVIP

54 数学通报 2011年 第 50卷 第 5期 容易混淆的 “恒成立”问题与 “存在成立问题 张志明 (江苏省吴江市盛泽 中学 215200) 不等式是 中学数学 的基础知识和重要部分 ， 时，图象必然分布在 t轴的上方 (如图所示) 一 直是各类考试 、考查的热点与重点．不等式 “恒 g()J 成立”问题与 “存在成立”问题 ，又是不等式中常见 { 的题型，在各地 的 自主招生 、高考 、模拟考试 中屡 见不鲜．此二类 问题对学生掌握基本数学思想与 方法提出了较高的要求．学生对此二类 问题往往 ＼ ＼ ／ O l t 感到容易混淆 ，且难以下手． 1 不等式恒成立问题 g(0)0 例 1 (2010年清华大学等五校联考)已知 即靴 A 0 厂()是定义在 R上的奇 函数，且 当xO时，厂() 一 单调递增，厂(一1)一0，设 (z)一sin2+n／COS ～ I0或m百1 ” 广 一 1 2m，集合M一{lV ∈10，_芸_J，(z1)0)，N— 解之，得 4—2√2即MnN=(4—2√2， L 厶 j 十∞) r． 一 1 {mIVz∈10，号l，，((z))o)，求gf]N (法三)函数基本性质法 L J 分析 由题意 ，得 -厂(z)0等价于 z一1 可令 g()一 一 +2m一2，通过分类讨论， 或 Oxl，于是 厂((Lz))0等价于 (z)一1 将 g()在 [o，1]上的最小值求出且满足 g() 广 一 ．1 o即得到 m 的取值范围． 或o ()1，从而MnN一{jV．z∈l0，詈 J， L J [详解略] ()一1)．由 (Iz)一1，可将 问题转化为 ： 侈42 设 P一 (1og2z～1)logi3，一6log2z · 广 一 log3+10g2z十1，当xE[1，2]时，求使得 PO恒 V ∈10，詈 J，COS 一 cos +2m一20 L 厶 J 成立的 的取值范围． 恒成立．若令 t—COS0，0≤ ￡≤1，于是问题就化 分析 因为z∈[1，2]所 以0≤logz≤1故 P 为：t。一m￡+2m一20在 t∈[O，1]上恒成立时， 可以看作关于log。Y的二次函数 ，但若利用例 1介 求实数 m的取值范围． 绍的三种方法显然较为繁琐 ，若将 P 中的logzz 要解决这类不等式恒成立 问题 ，通 常有三种 与log。Y的主次关系对调，得 到 P一 (1og]y一6 方法：