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北京力学会第18届学术年会论文集：计算力学 一种基于非对称、解析试函数的形状自由 八结点平面单元 周国华 岑松 傅向荣周明珏 (清华大学航天航空学院，100084) 摘要：本文针对平面问题，综合非对称单元与解析试函数的优点，发展了一种对网格畸 变极不敏感、八结点平面单元模式。 关键字：非对称，解析试函数，平面问题，形状自由 一、 引言 有限单元方法由于它的通用性和有效性，使其成为工程数值模拟的主要手段。但是， 它并不是完美无缺的。传统的位移等参元在一些情况下对网格畸变十分敏感。过去的半 个多世纪中，为提高单元的性能很多的力学与数学学者都做出了努力。这些单元在改善 提高单元性能方面起到了很好的效果，但是并／1i能对任意的网格都能保持较好的精度。 非对称单元最早是由Rajendran[q提出的，此种单元性能优越，但还是有～些缺陷。岑松 教授指导研究生周国华等将非对称与解析试函数结合构造出一种新单元模型，大量算例 表明，此种单元对网格畸变极其不敏感，甚至在当四边形单元退化成三角形、凹f，q边形、 曲边及中点畸变情况下仍能保持极高计算精度。其中最显著的特点是这种八结点四边形 单元即使是在网格极度畸变时也能得到三次位移问题的精确解，传统的八结点单元在规 则网格下也只可能得到二次问题的精确解。 二、理论方法 传统的平面位移等参单元的刚度矩阵求解公式如下： K。=『I，百TDBtdA=“百TDBtd每dr／ Rajendran‘11基于虚功原理提出的平面非对称有限元刚度矩阵求解公式如下： 肌儿。-TD鼬=“吾。忡砌 ㈤ =“百’D13td哲dr／ 本文在Rajendran的基础上综合解析试函数，对(2)式的刚度阵进行重新改造，最 终的刚度矩阵求解公式如下： VI．135 北京力学会第18届学术年会论文集：计算力学 K。=』l。面丁讨枷=“Sd一悱d笋，7 (3) =“百’gtd昏dr／·石。1 三、数值算例 通过上一节的单元构造方法就得到了性能优越非对称解 析试函数八结点平面单元，标记为US-ATFQ8。下面代表性地 列出一个线性弯曲的三次位移场问题的算例。采用 US—ATFQ8分别在凹四边形畸变与中点畸变网格(如图l所 示)分别进行计算，计算结果见表l。 图1计算网格图 表l应力计算结果 嚷(o+，lO) _42，671 —120．000 —120．0 —120．000 —120．0 嚷(O，10_)—“．636 Mesh1 瓯(O，o+) Failed 4q．974 120．000 120．0 120．000 120．0 嚷(o+，0)41．048 v(100，0)×103 3．752 8．0460 8．046 表l中的计算结果显示，US．ATFQ8在采用凹四边形与中点畸变的网格情况下，依 也是极差。说明这种方法构造的单元模式在克服网格畸变和精度方面有