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例说函数奇偶性的几种判断方法 胡彬 在函数奇偶性概念的学习中，应多方面、多角度地思考概念的内涵，要掌握函数奇偶性定义的等价形式，注重寻求简捷的解题方法，函数奇偶性的定义是：如果对于函数定义域内任意一个x，都有（或），那么函数就叫做奇函数（或偶函数）。函数奇偶性的定义反映在定义域上：若是奇函数或偶函数，则对于定义域D上的任意一个x，都有，即定义域是关于原点对称的。函数奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。 下面给出函数奇偶性判断的其他等价形式，寻求比较简便的判别方法。 1. 相加判别法 对于函数定义域内的任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。 例1 判断函数的奇偶性。 解法1：利用定义判断，由 ，可知是奇函数。 解法2：由x∈R，知。因为 ，所以是奇函数。 2. 相减判别法 对于函数定义域内任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。 例2 判断函数的奇偶性。 解：由x∈R，知。因为 ，所以是偶函数。 3. 相乘判别法 对于函数定义域内任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。 例3 证明函数是偶函数。 证明：由x∈R，知。因为 ，所以是偶函数。 4. 相除判别法 对于函数定义域内任意一个x，设，若，则是奇函数；若，则是偶函数。 例4 证明函数是奇函数。 证明：由，知且，所以定义域关于原点对称。 因为，所以是奇函数。 点评：上述各例，若用定义判定，则困难程度可想而知。用等价定义判断解析式较为复杂的函数的奇偶性时，方便快捷，可化繁为简，会使大家感到思路清晰，目标明确，思维视野大为开阔，值得同学们注意。 练一练： 已知是定义在R上的函数，，且对任意的x∈R，都有，。若，则________。 答案：1（提示：由 ，所以其中等号均成立，。由得，，…，，从而有） 快乐学习，尽在中小学教育网 第2页（共3页） 正保远程教育 地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层 24小时客服热线：010