二级倒立摆的LQR和LQY控制.docVIP

二级倒立摆的LQR和LQY控制 摘要：本文首先采用小扰动原理将二级倒立摆的非线性模型在其平衡点附近线性化，然后基于该线性化模型，分别采用线性二次状态调节器和输出调节器设计最优性能指标和反馈控制率，最后进行了仿真，并对两者的仿真结果进行了分析和比较。 二级倒立摆非线性数学模型的建立及线性化 图1给出了一个二级倒立摆系统的物理结构示意图。其中表示小车在水平位置的位移，表示下摆杆与垂直位置的角度，表示上摆杆与垂直位置的角度。 图 1 二级倒立摆的物理结构示意图 为了设计上述二级倒立摆系统的线性控制器，必须先对被控系统进行建模。另外，为了减小建模的难度，对系统有如下假设： 每一级摆杆都是刚体。 在实验过程中同步带长度保持不变。 驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接施加于小车。 实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计。 在上述假设的条件下，根据动力学理论，其动力学方程如下： （1） 其中 式中个参量的意义及参数值如下表1所示。 表 1 二级倒立摆系统的结构参数 参 数 参数值 意义 1.3280 小车质量(kg) 0.22 下摆质量(kg) 0.187 上摆质量(kg) 0.004963 下摆转动惯量(kg·m2) 0.004824 上摆转动惯量(kg·m2) 0.304 下摆质心至轴心的距离(m) 0.226 上摆质心至轴心的距离(m) 0.49 两摆轴心间的距离(m) 22.915 小车系统的摩擦系数(N·m·s) 0.00705 下摆摩擦阻力系数(N·m·s) 0.00264 上摆摩擦阻力系数(N·m·s) 11.887 力与控制电压之比(N/V) 9.80 重力加速度(m/s2) 在平衡点和附近，采用小扰动原理对方程（1）进行线性化处理，亦即设，，得 （2） 其中 定义状态变量 并将表1中的参数值代入方程（1）和方程（2）中可得如下非线性方程（3）和线性化的状态方程（4）。 （3） 其中 在平衡点附近的线性化后的状态方程 （4） 控制器设计 线性二次状态调节器（LQR） 取性能指标，其中，对应的控制率为，其中，满足如下黎卡提方程 （5） 利用MATLAB求解方程（5），可得 并且将代入相应的控制率，可得 线性二次输出调节器（LQY） 取性能指标，其中，对应的控制为率，其中，满足如下黎卡提方程 （6） 利用MATLAB求解方程（6），可得 并且将代入相应的控制率，可得 仿 真 图2给出了SMIULINK的仿真框图。 图 2 二级倒立摆系统仿真框图 取二级倒立摆的初始状态为 仿真结果如图3所示，其中实线表示LQR控制器的控制结果，而虚线则表示LQY控制器的控制结果。 图 3 LQR和LQY的仿真曲线 由图3可知，对于不稳定的二级倒立摆系统，无论是LQR控制器，还是LQY控制器，都能够实现控制目标，即保持摆杆竖直。 另外，由于在二级倒立摆系统中，摩擦系数、、和力与控制电压之比最容易发生变化。建模时，、、、；现将其改为、、、，并仍取初始状态为： 此时仿真结果如图4所示，其中实线表示LQR控制器的控制结果，而虚线则表示LQY控制器的控制结果。 图 4 系统摩擦系数发生变化时的LQR和LQY的仿真曲线 由图4可知，LQR和LQY控制器都具有一定的鲁棒性。 另外，综合图3和图4，可以发现，LQY控制器具有较小的超调，这说明对于在平衡点附近不稳定的非线性二级倒立摆系统，LQY控制器具有较优的鲁棒性；而LQR控制器具有较短的调节时间。这是因为LQY控制器重点考虑了、、在U控制下的变化规律，而LQR综合考虑了、、、、、在U控制下的变化规律，从而LQR控制器具有较短的调节时间，但是却牺牲了系统的鲁棒性。综上所述，本人认为LQY控制器相对较优。