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分数步法求Helmholtz方程近似解 刘亭亭，肖灵 中国科学院声学研究所声场声信息国家重点实验室，100080，北京 摘要：本文给出了求Helmholtz方程近似数值解的一种方法。 背景介绍 在非均匀介质中声波的传播问题的研究，有着重要的应用。一个是在地质中的传播， 可以用来研究地质结构；一个是在海洋中的传播，可以用来研究海洋中物体的情况。 计算方法 单向Helmholtz方程 (1) y。+y，+船2(a，，)少=0 用来描述非均匀海洋中声音的传播，其中y是声波的振幅，Z是深度，r是水平距离，即是 介质的折射率。 分解Helmholtz方程可以得到： f掣：Hp(2) 其中H：一痧瓦i7，p=i昙。 dZ 方程。由于拟微分算子日的复杂性，它不能被分解为显式可积项的和，虽然方程(2)是李 2龙守恒，但是不能应用李群算法。我们寻找方程(2)的近似方程 群uo)上的方程，jlyI o=月 IjJ l。掣：詹I．／／ (3) 即日的近似疗=∑詹，，使得对每一个因子P洲’可以显式求解。 近似有很多种办法，一种简单形式的近似是： 詹：一1p2一一1胛z：：疗，+岔：。1 1 ‘ 2 2 f沙=妄If，。 (4) 对应疗，的方程是 (5) f沙=圭胛2(”)y 我们利用计算数学中的分数步法求方程(3)的逼近解。首先通过方程(4)利用边界条 -10- 件求出第去层网格的数值，这时候的数值解记为少@，了At)，然后以y(x，了At)为初值求方程 一层网格上的一阶逼近数值解。方程(3)在第二层网格上的逼近数值解是以第～层网格的 数值解为初值利用同样的办法得到，依此类推求出方程(3)的一阶逼近数值解。而二阶逼 近解可以通过以下步骤得到： 步骤1：利用边界条件求出方程(4)在第三4层网格的数值，记为∥(x，iAt)； 步骤2：以∥(x，百At)为初值，求方程(5)在第三层网格上的数值，记为沙(z，了At)； 步骤3：以y(_)c，了At)为初值，求方程(5)在第三4层网格上的数值，记为y(x，_3A广t)； 步骤4：以y(x，兰兰)为初值，求方程(4)在第1层网格上的数值，记为y(x，出)： 少(x，At)为求得的第一层网格上的数值解，依次循环以上步骤可以得到方程(3)的二阶逼 近数值解。格式的对称性使得截断误差相互抵消，高阶逼近解类似可得。另外，根据计算的 需要可推广到变步长情形。 数学物理中一此多变量问题的高维方程也适合用分数步法求数值解。 结论 本文探讨了求Helmholtz方程近似数值解的一种办法。近似程度依赖于算子日的分裂近 似，数值解的逼近程度依赖于所选择的数值格式及逼近阶数。为提高速度、减少计算量，可 以利用近似数值解。 参考文献 (1]《分数步法》，N．N．雅宁柯著，周宝熙，林鹏译，科学出版社，1992 methods，Acta Press，2002 CambridgeUniversity [2]Splitting Numerica，PP．341—434 and of Order Schemes 【3]3 M．Z．QinW．J．Zhu，ConstructionHigher Symplectic by 1，