第六十讲.ppt

§3 二阶线性微分方程及其解的结构 * * 第六十讲 主讲：杨荣副教授 吉林大学远程教育 如果微分方程是关于未知函数及未知函数的各阶导数都是一次方的方程，则称此方程为线性微分方程，本节主要讨论二阶线性微分方程，其规律可推广到n阶线性微分方程。 二阶线性微分方程的一般形式是 或 其中a1(x),a2(x),f(x)都是x的已知函数，方程(1)称为二阶齐次线性微分方程，方程(2)称为二阶非齐次线性微分方程，通常把方程(1)叫方程(2)对应的齐次线性微分方程。 下面讨论二阶线性微分方程的解的一些性质 1.二阶齐次线性微分方程解的结构 关于二阶齐次线性微分方程(1)的解有下面的定理. 定理1 如果函数 y1与 y2是方程(1)的两个解，则 所以方程(1)左端等于零，等于方程的右端，故(3)式是方程(1)的解，证毕 。 证 将 y= C1 y1＋ C2 y2代入方程(1)的左端，得 由于 y1与 y2是方程（1）的解，即 定理1表明齐次线性微分方程的解具有叠加性. 也是方程(1)的解，其中C1，C2是任意常数 . 当我们已找出齐次线性微分方程(1)的两个解 y1, y2时，叠加起来的解 y= C1 y1＋ C2 y2从形式上看含有两个任意常数，但不一定是方程 (1) 的通解，事实上，如果 (k是常数)，则 实质上其中只含一个任意常数，因此，不是方程(1)的通解，由此看来，仅当 ，即 y2 ≠k y1时，解 y= C1 y1＋ C2 y2中有两个独立的任意常数，才是方程(1)的通解。 综合上述，可得以下定理： 如果函数 y1与 y2的比值 （k为常数），则称 y1与 y2是线性相关的，否则，就是线性无关的，例如，x与e－x是线性无关的( )；而e2x与3e2x是线性相关的( )。 定理2 如果函数 y1与 y2是方程(1)的两个线性无关的特解，则 y= C1 y1＋ C2 y2 (C1，C2是任意常数)就是方程(1)的通解. 定理2给出了二阶齐次线性微分方程(1)的通解的结构，要求它的通解，需要先求出它的两个线性无关的特解。 又如，方程 也是二阶齐次线性微分方程，容易验证： y1 = x2， y2 = x2lnx是该方程的两个解，并且是线性无关的，因此方程的通解为 例如，方程 是二阶齐次线性微分方程，容易验证：函数y1 = ex与 y2 = e－x是它的两个特解，且 常数，即 y1，y2线性无关，所以 y= C1 ex ＋ C2 e－x(C1，C2是任意常数)是方程 的通解。 2.二阶非齐次性微分方程解的结构 由上面内容我们已经看到，一阶非齐次线性微分方程的通解是两个函数之和：一个函数是它对应的齐次线性微分方程的通解；另一个函数是非齐次线性微分方程的一个特解。实际上，不仅一阶非齐次线性微分方程的通解有这样的结构，而且二阶乃至高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构。 定理3 设 y*是非齐次线性微分方程(2)的一个特解，Y是(2)对应的齐次线性微分方程(1)通解，则 证 把(4)式代入方程(2)的左端，根据假设，得 这样 y=Y＋y*使方程(2)两端恒等，即(4)式是方程(2)的解，又因是对应的齐次线性方程(1)的通解，含有两个任意常数，所以 是二次非齐次线性微分方程(2)的通解 . 中也含两个任意常数，从而它就是非齐次线性微分方程(2)的通解。证毕。 是非齐次线性方程 的通解. 定理4 设非齐次线性方程(2)的右端 f(x)是两个函数 f1(x)与 f2(x)之和，即 而 y1*与 y2*分别是方程 例如，对于方程 ，已知 y= C1 ex ＋ C2 e－x是对应齐次线性方程 的通解，又可直接验证 y*=－ x2－ 2是它的一个特解，因此 y= C1 ex ＋ C2 e－x－ x2－ 2 (C1，C2是任意常数) 非齐次线性微分方程(2)的特解，有时可由下述定理来帮助求出。 与 的特解，则 y1*＋ y2*是方程(5)的特解。 将 y1*＋ y2*代入方程(5)的左端，得 证