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弹塑性力学 应力状态：作用在同一点所有不同外法线方向微面上的应力矢量的集合 如何求任意一个已知外法线方向（l,m,n）的截面上的应力分量（）？ 取相互垂直的三条边，作为三个坐标轴，和一个法线方向角为l,m,n的斜面围成一个四面体，T是作用在斜面上的合力，Tx ,Ty ,Tz ,分别为T在x轴，y轴和z轴上的分量。 由四面体的平衡可以得到： 那么，该外法线方向（l,m,n）上的力大小 又，我们可以知道微面上合外应力T在法向上的投影： 所以，又可以知道切应力的大小 变换坐标轴，怎样用一个和新坐标系的坐标轴方向一致的单元体上的应力来表示原先该点的应力状态？ 设新坐标轴是（，，），旧坐标系是（） 这个问题的实质是把原先某点在新坐标系坐标轴正向为外法线的的平面上的应力分解（投影）到新坐标系下的坐标轴上去。 设原先在（）坐标系下用单元体表示的应力状态是： 现在在新坐标系下（，，）用新坐标系下的单元体表示的应力状态： 则，我们可以先通过，求以、、坐标轴为外法线的截面上的应力 以为例： 在以坐标轴为外法线的截面上的应力为： 那么，= 又，= 所以，= 将上面的矩阵两边转置，同理可得、方向上的应力分量，将他们合并得： = 如何求解一元三次方程：盛金公式 一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 　　重根判别式： 　　A=b－3ac； 　　B=bc－9ad； 　　C=c－3bd， 　　总判别式： 　　Δ=B－4AC。 　　当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s?Formula①）： 　　X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。 　　当Δ=B－4AC0时，盛金公式②（WhenΔ=B－4AC0，Shengjin’s?Formula②）： 　　X1=(－b－(Y1＋Y2))/(3a)； 　　X2，3=(－2b＋Y1＋Y2±3?(Y1－Y2)i)/(6a)； 　　其中Y1，2=Ab＋3a?(－B±(B－4AC))/2，i=－1。 　　当Δ=B－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B－4AC?=0，Shengjin’s?Formula③）： 　　X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，? 　　其中K=B/A，(A≠0)。 　　当Δ=B－4AC0时，盛金公式④（WhenΔ=B－4AC0，Shengjin’s?Formula④）： 　　X1=?(－b－2Acos(θ/3)?)/(3a)； 　　X2，3=?(－b＋A(cos(θ/3)±3sin(θ/3)))/(3a)； 　　其中θ=arccosT，T=?(2Ab－3aB)/(2A)，(A0，－1T1)。 　　盛金判别法 　　Shengjin’s?Distinguishing?Means 　　①：当A=B=0时，方程有一个三重实根； 　　②：当Δ=B－4AC0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； 　　③：当Δ=B－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； 　　④：当Δ=B－4AC0时，方程有三个不相等的实根。 　　盛金定理 　　Shengjin’s?Theorems 　　当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。 　　当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答： 　　盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。 　　盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。 　　盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。 　　盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。 　　盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。 　　盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。 　　盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。 　　盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。 　　盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。 　　显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。 当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别