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弹性力学习题课 5-9 图所示的矩形截面梁，左端O点被铰支约束，并在左端作用有力偶M，求应力解答。提示：取应力函数 求应力分量 静力边界条件： 由位移约束条件： * 对于在平面应力下的薄板，已知应变分量为： ，试求应力分量，并求出相 应的静力边界条件。 【解】由物理方程 a a x y 相应边界条件： 在左边 在右边 在下边 在上边 Q 解：将应力函数代入双调和方程，满足方程恒等 则： 得： 一转动圆轴，质量密度为ρ，半径为a。试按第三强度理论，求圆轴的弹性极限角速度ω。 a ω 【解】 此问题为轴对称问题，其平衡微分方程 一个方程，求两个未知量，需补充方程。 其位移分量 相应的应变分量 相应的变形协调条件 由物理方程，得 代入变形协调方程，得 联立求解方程（1）和（2），得 根据边界条件 同时考虑 为有限值。 解得 在边界上结构处于危险点，可知 则可得到转轴的弹性极限角速度： 利用瑞利—里兹法，近似求图示悬臂柱的临界荷 载 ， (EI为常数)。 【解】 假设压杆为处于 理想弹性状态。 压杆弯曲失稳后，其挠曲线可假定为 L y x ξ dξ x 图1 满足边界条件 取一项 弯曲应变能为 下面来分析外力功 由微分几何关系 则 由图1可知，在x处dx微段上外力功为 其中 总势能为 令 得 或 比精确解 大5.88%。 为改进精度，取 相同计算，得 较精确解大0.0126%，吻合很好！ 图示一简支梁(EI为常数），放置于地基上，地基线刚度为k，承受均布荷载q作用，试用变分方法，近似求解该梁的挠曲线。 地基线刚度系数为k。 【解】 将梁与地基视为一个弹性系统 假设挠度函数为 满足边界条件 有 弹性地基及梁的应变能 外力功 总势能 由 得 作业： 一、 旋转圆盘，如汽轮机和透来压缩机上的叶轮，是机械工程中常遇到的构件。高有等厚度圆盘，圆盘半径为b，厚度为h，并以匀角速度ω绕其中心轴旋转。试计算出其角速度弹性极限 ω e。并以转轴的结果进行比较，有何异同？ ω 二、应用瑞利-里兹法求图示压杆的临界荷载，EI为常数。 P x y *