对几个数学问题的再感悟.pdfVIP

维普资讯 56 数学通报 2006年 第45卷 第7期 对几个数学问题的再感悟 ■ 常瑞连 (河南省焦作师专北校区数学系 454150) 《普通高中数学课程标准(实验)》把 “初等数论 3]=6，所以l0 +5 ；3(mod6)． 初步”设置为选修课，这对健全高中学生的知识与 当 n是偶数时，由② 得 10 +5“ 2； 能力结构，必将发挥重要的促进作用．此前，由于学 5(mod3)，由①得 l0+5 ；1 5(mod2)，因为[2， 生对这门课程的内容很少了解 ，学习过程 中有许多 3]=6，所以l0 +5 ；5(mod6)． 不适应 ，严谨抽象的理论，难以理解，奇巧多变的方 所以，当n是奇数时，l0 +5除以6的余数是 法，难以把握 ，陌生的数学问题，更令学生望而生 3；当n是偶数时，l0 +5除以6的余数是5． 畏，难得要领．学生在解答数论问题时，不习惯用这 评注 一看到问题中有正整数 n，就联想到用 门课程的理论 、方法去思考 ，仍习惯于用其他的数 数学归纳法解答，这很合 “常规”，但解答过后若能 学知识 、方法解答 ，解题过程迂回曲折，过度烦琐． 用批判的眼光去看待 自己获得的解答 ，冷静地反思 本文结合教学这 门课程的实践体会 ，通过对 《数学 一 下，为什么要选择这样 的解题途径，是否还有更 通报》上的几个数学问题的再感悟，谈谈在解答数 好的解题方法 ，这样我们就有可能打破 “常规”，突 论问题时如何引导学生学会思考，并通过知识的整 破思维的定势，用我们学过的数论知识去获得本题 合，解题策略的选择，简捷地解答这几个问题． 自然、简单的解法． 1 《数学通报)2002年第9期问题1359(见10期数学 2 《数学通报}2001年第7期问题 1324(见第8期数 问题解答) 学问题解答) 问题 1359：设n为任意正整数 ，求 10+5除以 问题 1324：已知 n是一个使 1+ +3+…+ 6的余数，并证明你的结论． n不能被5整除的自然数，试求 1+2+3+…+ 原解答对求余数这个重要的信息点视而不见， n除以5所得的余数． 而是先通过对正整数 n的不完全归纳，发现规律后 原解答先求出前 n个正整数 1，2，3，…，n的立 提出猜想，然后又分别从 n为奇数、偶数出发，两次 方和的通项式，根据条件 “当立方和不能被5整除” 应用数学归纳法证明猜想，把一个简单的问题复杂 时，得到自然数 n的三个表达式，再分别代人平方 化了． 和的通项式转化为三个等式，进行复杂的恒等变形 事实上 ，此题若能抓住 “除数与被除数的底数 后，两次应用数学归纳法证明，其过程相当烦琐． 都是相等的”这一信息，从初等数论 自身的知识体 事实上，此题中虽然 自然数 n具有任意性和不 系人手 ，把除数6分解后巧妙地应用同余的有关性 确定性 ，但除数5是确定的，又两个和式中各项的底 质，可以很简便地解答 ． 数都是从 1开始的自然数，通过对这些信息的捕捉， 解 因为10 0(mod2)，5；1(mod2)，所以l0 萌发把两个和式分段求解如何．下面应用同余的性 0(mod2)，5 ；l(mod2)，10 +5 ；l(mod2)．① 质可以简便地解答． 因为 10；1(mod3)，5 2 一1(mo