平面、立体几何竞赛专题讲解及习题分析讲解.pdfVIP

平面、立体几何竞赛专题讲解及习题分析讲解 多面角 有公共端点并且不在同一平面内的n条射直线，以及相邻两条射线间的平面部分所组 成的图形，叫做多面角. 组成多面角的射线叫做多面角的棱，这些射线的公共端点S 叫做多面角的顶点，相邻 两棱间的平面部分叫做多面角的面，相邻两棱组成的角，叫做多面角的面角，相邻两 个面组成的二面角叫做多面角的二面角. 三面角 三面角是立体几何的基本概念之一，是组成多面体的重要元素。与平面几何中有关三角 形的正、余弦定理类似，有关三面角的正、余弦定理是解三面角的重要依据。熟练掌握解三 面角的方法，可以较大地提高立体几何的解题能力。 一、三面角和补三面角 有公共端点且不共面的三条射线以及相邻两射线间的平 面部分所组成的图形叫三面角。图 2—1 中，点 S 为三面角 S—ABC 的顶点。射线 SA、SB、SC 为三面角 S—ABC 的三 条棱，它们所对的∠BSC 、∠CSA、∠ASB 为三面角 S—ABC 的三个面角。通常可用a、b 、c 表示。以 SA、SB、SC 为棱的 二面角 B—SA—C、C—SB—A 、A—SC—B 可用 A 、B 、C 来 表示。 从三面角 S—ABC 的顶点 S 出发，作三条射线 SA0 、 SB 、SC 分别垂直于平面 BSC 、CSA、ASB ，并与射线 0 0 SA、SB、SC 分别在该平面的同侧，则三面角 S—A B C 称 0 0 0 为三面角 S—ABC 的补三面角。（图2—2 ）易证，三面角 S—ABC 与三面角 S—A B C 互补。 0 0 0 互补的两个三面角有如下重要性质： 定理 1 就度量业讲，一个三面角的某一面角与其补 三面角相对应的二面角互补。略证：图 2—3 中设平面α为 图2—2 三面角 S—ABC 中面角∠BSC 所在平面，∠DSE 为其补三 面角 S—A B C 中相对应的二面角B —SA —C 的平面角， 0 0 0 0 0 0 则显然 SD、SE、SB、SC 四射线同在平面α内。由 SC⊥平 面 B SA 且 SD 在平面 B SA 内，可得SC⊥SD。同理 SB⊥ 0 0 0 0 SE。易知∠DSE 与∠BSC 互补。 二、三面角的余弦定理和正弦定理 下述关于二面角的有关计算公式是推导三面角余弦、正 图2—3 弦定理的基础，同时它们又往往在解题过程中起较大作用。 图2—4 中，二面角α—l—β的大小为θ，A ∈α， B ∈β，AA ⊥l 于 A ，BB ⊥l 于 B ，AO ⊥β于O 。设|AB|=d。 1 1 1 1 |AA