求解多目标问题的积分型算法的最优性条件.pdfVIP

维普资讯 2005年 月 应用数学与计算数学学报 第 19卷第 2期 Dec．，2005 C0MM ．0N APPL．MATH．AND C0MPUT V0I．19 No．2 求解多 目标问题的积分型算法的最优性条件 姜爱萍 方晓伟 庞莉莉 张思英 上海大学数学系，上海，200444 摘 要：本文把修正的积分水平集法与多 目标分层序列法相结合，在文 [9】给出的一 种求解多目标最优化的积分型实现算法的基础上提出了相关均值与相关方差的概念，并证 明了与相关均值和相关方差有关的多目标全局有效解存在的充要条件和全局弱有效解存 在的充分条件，即最优性条件． 关键词：多 目标规划，修正的积分 一水平集，最优性条件 1．引 言 多 目标最优化的研究对象是：多于一个的数值 目标函数在给定区域上的最优化 (极 小化或极大化)问题．多 目标优化理论在诸如经济规划，计划管理，金融决策，能源开 发，工程设计，农业种植，卫生保健以及军事科学等领域有着大量的应用；在经济学， 对策论，系统工程和控制论等学科的研究中，也常常要涉及到多 目标最优化问题． 文 [91l中将修正的积分水平集与多 目标分层序列法相结合，提出了一种求解多 目 标最优化的积分型实现算法，本文在该文算法的基础上，给出了相关均值与相关方差 的概念，并证明了基于相关均值与相关方差的多 目标规划问题全局解的最优性条件． 多 目标极小化问题一般表述为 fVMP1 V— min F(x) z∈XCR竹 其中F(x)=(fl()，f2(x)…fm())是区域XCR 上的m维向量函数．在这里我们先 给出多 目标总极值问题 (VMP)全局解的概念： 定义 1．1设XoEX，若F(x) F(xo)对一切XEX均成立，则称X0是 (VMP)的 全局最优解；相应的函数值 F(xo)称为全局最优值；记全局最优解的集合为 Eot． 定义 1．2若不存在 XEX ，使 F(x) F(xo)且 F(x)≠F(xo)成立，则称 XO是 (VMP)的全局有效解；相应的函数值F(xo)称为全局有效值；记全局有效解的集合为 E． 定义 1．3若不存在XEX，使 F(x)F(xo)成立，则称 Xo是 (VMP)的全局弱有 效解，相应的函数值 F(xo)称为全局弱有效值；记全局弱有效解的集合为 E ． 我们对问题 (VMP)作如下假设： (1)约束集 是有界闭箱； (2) 目标函数 F(x)为 上的连续函数； (3)存在实向量 CER 使水平集 凰 =(：F(x) c)与 的交为非空有界； 本文 2004年 12月 7日收到 维普资讯 24 应用数学与计算数学学报 19卷 在下面两节中假设 (A)、 (A。)、 (A3)都是成立的．第二节在把修正的积分水平 集算法与多 目标分层序列法相结合的基础上给出了相关均值和相关方差的定义；第三 节给出了与相关均值和相关方差有关的多 目标全局有效解存在的充要条件和全局弱有 效解存在的充分条件． 相关均值和相关方差 文 9【]把修正的积分水平集算法与多 目标分层序列法相结合，提出了一种求解多 目标最优化的积分型实现算法，给出了相关均值与相关方差的概念及性质，这些概念 在下一节的最优性条件中将会用到． 文 f9]给出的算法如下： 步 1取定小的正向量E∈R ，及初值C。∈R ，令k：=0，Ck=(c{，c5，…，c)， ％ ：={IF(x) C )．不失一般性，我们假定 (％ nX)0(其中 是测度) 令 = {I ∈X，fi(x) c)，