2014届高考数学一轮必备考情分析学案：7.2《一元二次不等式及解法》.docVIP

7.2一元二次不等式及其解法 1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型． 2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题． 3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题． 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)求出相应的一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ? 注意事项 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集． (1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况； (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 【例1】设函数f(x)＝若f(x0)1，则x0的取值范围是(　　) A. (－∞，－ 1)(1，＋∞)　　　B. (－∞，－1)[1，＋∞) C. (－∞，－3)(1，＋∞)　　　 D. (－∞，－3)[1，＋∞) 答案：B 解析：f(x0)1或x0≥1，或x0－1. 【】 函数f(x)＝＋log3(3＋2x－x2)的定义域为________． 解析　依题意知 解得 1≤x＜3. 故函数f(x)的定义域为[1,3)． 答案　[1,3) 考向二　含参数的一元二次不等式的解法 【例2】7. 若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x(0,1]恒成立，则a的取值范围是________． 答案：a≥－5 解析：由题意，分离参数后得，a≥－(x＋)，设f(x)＝ －(x＋)，x(0,1]，则只要a≥[f(x)]max即可，由于函数f(x)在(0,1]上单调递增，所以[f(x)]max＝f(1)＝－5，故a≥－5. 【训练2】 解关于x的不等式(1－ax)2＜1. 解　由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0， 当a＝0时，x. 当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得a2x＜0， 即0＜x＜. 当a＜0时，＜x＜0. 综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a＞0时，不等式解集为；当a＜0时，不等式解集为. 三　不等式恒成立问题 【例3】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． 解　原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2， 从而有整理，得所以 所以a＞2. 故a的取值范围是(2，＋∞)． 【3】 已知f(x)＝x2－2ax＋2(aR)，当x[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围． 解　法一　f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a. 当a(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立， 只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1； 当a[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－1≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]． 法二　令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或 解得－3≤a≤1. 所求a的取值范围是[－3,1]．　　【例】设函数f(x)＝(x－a)2ln x，aR. (1)若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a； (2)求实数a的取值范围，使得对任意的x(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立． 注：e为自然对数的底数． [] (1)求导得f′(x)＝2(x－a)ln x