2014新人教B版必修四《向量的应用》word同步测试.docVIP

2.4 一、选择题 1．△ABC中，＝c，＝a，且c·a0，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 [答案]　D [解析]　∵c·a0，∴∠B为锐角． ∴△ABC无法确定． 2．已知△ABC的重心是G，CA的中点是M，且A、M、G三点分标分别是(6,6)，(7,4)，，则|BC|＝(　　) A．4 B. C. D．2 [答案]　D [解析]　由题意M是中点得C(8,2) 设B(x，y)则由G是△ABC的重心， ∴＝3 (7－x,4－y)＝3， ∴x＝2　y＝0，∴＝(6,2)， ||＝2. 3．(2010·重庆理)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 [答案]　B [解析]　|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2 ＝4×1－4×0＋4＝8， ∴|2a－b|＝2. 4．(2010·天津文)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝(　　)A．2 B. C. D. [答案]　D [解析]　设BD＝a，则BC＝a，作CE⊥BA交BA的延长线于E，可知∠DAC＝∠ACE，在Rt△ABD中，sinB＝＝.在Rt△BEC中，CE＝BC·sinB＝a·＝， ∴cos∠DAC＝cos∠ACE＝. ∴·＝||·||cos∠DAC＝AD·AC·＝. 5．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则(　　) A．|v1||v2| B．|v1||v2| C．|v1|≤|v2| D．|v1|≥|v2| [答案]　B [解析]　如图，＝v1，＝v2， 由图知：||||，又||＝||， ∴||||，即|v1||v2|. 6．已知A(1,2)、B(3,4)、C(5,0)，则sin∠ABC＝(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　＝(2,2)，＝(4，－2)， ∴cos∠ABC＝＝＝， ∴sin∠ABC＝. 7．已知O为△ABC所在平面内一点，满足||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2，则点O是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 [答案]　C [解析]　设＝a，＝b，＝c，则＝c－b， ＝a－c，＝b－a. 由题可知|a|2＋|c－b|2＝|b|2＋|a－c|2， 化简可得c·b＝a·c，即(b－a)·c＝0. 即·＝0，故⊥，即OC⊥AB. 同理可得OB⊥AC，OA⊥BC.故O是△ABC的垂心． 8．如图，两条绳提一个物体，每条绳用力5 N，绳夹角为60°，则物体重量W为(　　) A．5 N B．5 N C．5 N D．10 N [答案]　B [解析]　W＝2|F1|·cos30°＝2×5×＝5 N. 二、填空题 9．已知平面内三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝________. [答案]　－25 [解析]　由题设可知，△ABC为直角三角形，并且AB⊥BC，所以·＝0， ·＝－·＝－||||cosC＝－4×5×＝－16， ·＝－·＝－||||cosA＝－5×3×＝－9. 故·＋·＋·＝0－16－9＝－25. 10．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为______． [答案]　(10，－5) [解析]　，∴P(10，－5)． 11．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，＝m(＋＋)，则实数m＝________. [答案]　1 [解析]　取BC的中点D，则＋＝2.且OD⊥BC，AH⊥BC， 由＝m(＋＋)， 可得＋＝m(＋2)， ∴＝(m－1)＋2m. ·＝(m－1)··＋2m··， 即0＝(m－1)··＋0， 故得到m＝1. 12．某重量为P的物体用绳子缚着，某人手拉着绳子在水平面上匀速行走，若物体与地面间的滑动摩擦系数μ＝，那么绳子与地面成________角时，拉力最小． [答案]　30° [解析]　如图， 由题设知， ∴|F|＝＝ ＝＝， ∴θ＝30°时，|F|最小，|F|min＝. 三、解答题 13．某人在静水中游泳，速度为4km/h. (1)如果他径直游向河的对岸，水流的速度大小为4km/h，他实际上沿什么方向前进？速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流的垂直方向前进？实际前进的速度大小为多少？ [解析]　(1)如图甲所示，由于v实＝v水＋v人， ∴|v实|＝＝8(km/h)． 又tanθ＝＝＝，∴θ＝60°； (2)如图乙所示，根据平行四边形法则及解直角三角形知识可得|v实|＝＝＝4(km/h)． 又ta