2014新人教B版必修四《向量数量积的运算律》word同步测试.docVIP

2.3.2 一、选择题 1．(2009·全国Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案]　B [解析]　∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2， 又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2， 即2|a||b|cosa，b＝－|b|2， ∴cosa，b＝－， ∴a，b＝120°. 2．设a、b、c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 [答案]　D [解析]　∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b， ∴c2＝|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＝5，故选D. 3．(2010·温州市高一下学期期末测试)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　∵|a＋b|＝|a－b|，∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝0 又∵|a＋b|＝2|a|，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝4|a|2 ∴|b|2＝3|a|2， 设a＋b与a－b的夹角为θ， 则cosθ＝＝＝＝－， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 4．下列各式中正确命题的个数为(　　) ①(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)，(λ∈R)； ②|a·b|＝|a|·|b|； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c； ④(a·b)·c＝a·(b·c)． A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　B [解析]　①、③正确，②、④错误． 5．若ABCD是边长为1的正方形，则|＋＋|等于(　　) A．0 B．3 C. D．2 [答案]　D [解析]　|＋＋|＝|2|＝2. 6．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．以上都不对 [答案]　C [解析]　由(－)·(＋－2)＝0 得·(＋)＝0 又∵＝－，∴(－)·(＋)＝0 即||2－||2＝0 ∴||＝||，∴△ABC为等腰三角形． 7．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则a与b的夹角是(　　) A．30° B．45° C．90° D．135° [答案]　B [解析]　∵a·(a－b)＝0，∴a2＝a·b， ∴cosa，b＝＝＝， ∴a，b＝45° 8．已知a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，则a·b＋b·c＋c·a的值为(　　) A．7 B. C．－7 D．－ [答案]　D [解析]　∵(a＋b＋c) 2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝1＋4＋2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0， ∴a·b＋b·c＋c·a＝－. 二、填空题 9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角为120°，则|4a－2b|＝________. [答案]　16 [解析]　|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2 ＝16×16－16×4×8×cos120°＋4×64 ＝768， ∴|4a－2b|＝16. 10．已知|a|＝|b|＝，|a＋b|＝，则a、b的夹角为________． [答案]　120° [解析]　|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝7＋2×××cosa，b＋7＝7， ∴cosa，b＝－， ∴a，b的夹角为120°. 11．(2010·荆州市高一下学期期末质量检查)已知两个单位向量e1、e2的夹角为120°，且向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，则a·b＝________. [答案]　0 [解析]　∵|e1|＝|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为120°， ∴a·b＝(e1＋2e2)·(4e1)＝4e＋8e1·e2 ＝4＋8×1×1×cos120°＝4＋8×1×1×(－)＝0. 12．(2010·温州市高一下学期期末测试)在△ABC中，若·＝·＝·，则点O是△ABC的________．(填：外心、内心、垂心、重心) [答案]　垂心 [解析]　·＝·，·(－)＝0，即·＝0. 同理：·＝0，·＝0，∴O为△ABC的垂心．三、解答题 13．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝2a－3b，d＝ma＋b，若c⊥d，求实数m的值． [解析]　a·b＝|a||b|cos60°＝1. 因为c⊥d，所以c·d＝0，即(2a－3b)·(ma＋b)＝2ma2＋(2－3m)a·b－3b2＝2m－12＋2－3m＝0，解得m＝－10. 14．已知m、n是夹角为60°的两个单位向量，求a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角． [解析]　|a|2＝4|m|2＋