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复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数在区域D内解析的充要条件： （1），在D内可微， （2），满足条件。（3分） 定理2 函数在区域D内解析的充要条件： （1）在D内连续， （2），满足条件。（3分） 定理3 函数在区域D内解析的充要条件：在区域D内连续，若闭曲线C及内部包含于D，则。（3分） 定理4 函数在区域D内解析的充要条件：在区域D内每一点，都能展成的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程的解为：，其中为整数。（3分） 4、设，则2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证为复平面上的调和函数，并求一满足条件的解析函数。（8分） 解：（1），；，。 由于，所以为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为为解析函数，则与 满足C.-R.方程，则有 ，所以 又 ，所以 ，即为常数。 所以。（8分） 由于，所以。即。 （8分） 2、方程在单位圆内有几个根？为什么？（8分） 解：有29个根，因为在圆周上，，由儒歇定理知 在由有29个根。（8分） 三、计算题（每题6分，共18分，用复变函数论的方法，并指出计算的理论根据）。 1、。 解：原式= （6分） 2． 解：原式=（3分）。（6分） 3． 解：原式= （1分） （3分） （5分） 。（6分） 四、罗朗级数与奇点（15分） 1、设，试求 （1）在圆环内的罗郎展式；（5分） （2）在为中心的去心邻域内的罗郎展式，并指出收敛圆环。（5分） 解：（1）（2分） （5分） （2）（2分） 。（5分） 2、试判断函数在奇点的类型。（5分） 解由于，（2分） 所以 （3分） 因此 为函数的12级极点。（5分） 五、求一分式线性变换将上半平面共形映射成单位圆使得，。（10分） 解：由题意知 ，（3分） 所以可设， （5分）求导得。由于，所以。此处 k是整数。 因此。（10分） 六、证明题： 1、设在区域内解析；（2）在内一点处有，，则在区域内必为常数。 证明：设到区域的边界的距离为。由于在区域内解析，，所以在内，可展成的幂级数 即在内为常数。（5分） 设为区域内任意一点，设连接和的包含与区域内的折线的分点依次为，设折线到区域的边界的距离为，令。考虑折线，在折线上依次取分点，使得相邻两分点间的距离小于，作圆。由于在内为常数，由唯一性定理知在内为常数，同样可得，在内为常数，于是可得知在内为常数，类似地考虑折线，可得在的某领域内为常数，即有。由的任意性知在区域内为常数。第二步只要讲出由唯一性定理得到结论即可。（10分） 2、如果函数在单位圆内解析，并且满足条件，且对于单位圆内的任意点有，则在单位圆内恒有，且有。 证明：由题意可得 令 由的构造知在内解析，且。 考虑在去心单位圆内任意一点处的值，取满足，由最大模定理，有；令，得。 所以。 当时，显然有。 当时，有，即。 综上所述，即在单位圆内恒有，且有。证毕。