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课程简介 课程名称 复变函数 教 材 《复变函数》(第四版) 对 象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，具 体地就是复数域上的微积分。 主要内容 复数与复变函数、解析函数、复变函 数级数、留数等。 学习方法 复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。 准备知识与参考书目 2、参考书目 复数的发展 本册书主要内容 第一章、复数及复平面 第二章、复变函数 第三章、复变函数的积分 第四章、级数 第五章、留数 第一章 复数及复平面 一、复数域 例1求所有值： 解: ，所以 从而，复数的四个根为 三、小结与思考 作业： P13页 1（1）（3），4，5（1），11 引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方 程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。 x y (z) O (0, -1) 2 解 例3 用复数方程表示:中心在点(0, -1), 半径为2的圆。 例4 方程 表示 什么图形？ 1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根 2.2 复数的乘幂与方根 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) (1) 乘积与商 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。 定理1可推广到n 个复数的乘积。 o x y (z) z1z2 z2 定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。 证明 ? Argz=Argz2-Argz1 即： 由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2 ∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0） 设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ。 (2)复数的乘幂 定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=z?z???z（共n个）。 定义 特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ 一棣模佛(De Moivre)公式。 问题 给定复数z=re i ?，求所有的满足ωn=z 的 复数ω。 (3)复数的方根 （开方）——乘方的逆运算 当z≠0时，有n个不同的ω值与 相对应，每一 个这样的ω值都称为z 的n次方根， 当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。 几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。 x y o 几何解释是 ：这四个根是内接于中心在原点半径为 的圆的正方形的四个顶点，并且 几何解释是 ：这四个根是内接于中心在原点半径为 的圆的正方形的四个顶点，并且 本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点复数的有关概念、表示方法及复数的运算, 它是本节课的重点. 思考题 复数为什么不能比较大小？ 思考题答案 由此可见, 在复数中无法定义大小关系. * * 皖西学院数理系 1