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Department of Mathematics  第五章 第三节、整函数与亚纯函数 整函数的概念 如果f(z)在有限复平面C上解析，那么它就称为一个整函数。显然无穷远点是整函数的孤立奇点。在C上，f(z) f(z)围绕无穷远点的洛朗展式也就是其泰勒展式： 当f(z)恒等于一个常数时，无穷远点是它的可去奇点；当f(z)是 次多项式时，无穷远点是它的n阶极点；在其它情况下，无穷远点是f(z)的本性奇点，而这时称f(z)为一个超越整函数。 代数基本定理： 代数基本定理：任何 次代数方程至少有一个根。 例如 都是超越整函数，无穷远点是它们的本性奇点。由刘维尔定理，我们有 证明：设 是一个这样的代数方程。我们要证明整函数P(z)至少有一个零点。反证之，假定P(z)没有零点，那么 也是一个整函数，因为 代数基本定理： 所以我们有 因而 在全平面上有界，于是根据刘维尔定理， 代数基本定理： 恒等于0，与所设矛盾，因此P(z)至少有一个零点。 注解1、此定理也表明，任何n次多项式恰有n个根。 注解2、此定理具有非常广泛的应用。 整函数 定理10.1 设f(z)是一个整函数，按照 是可去奇点、 阶极点或本性奇点，必须而且只需f(z)是恒等于常数、 次多项式或超越整函数。 证明：设 是f(z)的可去奇点，那么为 有限复数，从而f(z)有界，由刘维尔定理，f(z)恒等于一个常数。 设 是f(z)的极点或本性奇点时，设f(z)在 的主要部分是 整函数与亚纯函数的概念 那么 是f(z)-g(z)的可去奇点。因此，f(z)=g(z)+C，其中C为一个常数。 定理的必要性显然成立。 亚纯函数的概念 如果函数f(z)在有限平面上除去有极点外，到处解析，那么它就称为一个亚纯函数。 亚纯函数是整函数的推广，它可能有无穷多个极点。例如 是一个亚纯函数，它有极点 有理函数 亚纯函数的概念 也是一个亚纯函数，它在有限复平面上有有限个极点，而无穷远点是它的极点（当nm时）或可去奇点（当 时），在这里 是复常数，m及n是正整数。 定理10.2 定理10.2如果无穷远点是亚纯函数的可去奇点或极点，那么是一个有理函数。 证明：如果无穷远点是f(z)的可去奇点或极点，那么可找到一个有限的R，使得f(z)在 内解析。在 上，f(z)只可能有有限个极点，因为否则极点的极限点既不是极点，而且函数也不可能在这点解析，这是不可能的。因此f(z)只可能有有限个极点，设为 亚纯函数的刻画 当无穷远点是极点时，在这点的主要部分是： 此外，无穷远点是可去奇点或极点。在每一个有限点附近把f(z)展开为洛朗级数，并且设在点 的主要部分是： 亚纯函数的刻画： 而当无穷远点是可去极点时，令 令 其中 是一个有理函数。函数F(z)除去 在 有可去奇点外，在其余各点解析；这是因为由于展式的唯一性，F(z)在 及 附近的洛朗展式都不包含主要部分。因此，令 F(z)就是一个有界整函数。由刘维尔定理，F(z)= C（常数），从而f(z)= R(z)+C。 It’s The End！ Thank You！ Complex Function Theory Department of Mathematics