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第一章 复变函数 3 第一章 复变函数 §1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数 §1.3 导数 §1.4 解析函数 §1.5 平面标量场 §1.4 解析函数 作业 P181.2. (1),(5),(7),(10)3. P231.2.4. * * 1、定义 若函数f(z)在z0点及其邻域内处处可导，则称f(z)在z0点解析；又若f(z)在区域B上的每一点解析，则称f(z)在区域B上是解析函数。 (2) 若f(z)在z0点的不解析，则称该点为f(z)的奇点。 (1) 解析与可导的关系 ： 函数f(z)在某点解析，则必在该点可导，反之不然。 函数在区域B内的解析与在B内处处可导完全等价。 (提示：点z0上可导，并不意味在z0的邻域内处处可导，因此函数在该点不一定解析。) 性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B上解析，则u=C1，v=C2 （其中C1, C2为常数）是B上的两组正交曲线族。 2、主要性质 证明：f(z)在区域内解析，必满足柯西－黎曼条件 上式两边自乘，得到 其中?g (g=u, v)为曲线g=Const.的法向矢量，所以 ?u· ?v=0表示相互正交的曲线族。 红: 实部 兰: 虚部 性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B上的解析函数，则u(x,y)和v(x,y)均为该区域内的调和函数。 证明：由柯西－黎曼条件： 前一式对x求导，后一式对y求导，得 方程(A)和(B)称为二维拉普拉斯方程，满足Laplace方程的二元实函数u和v称为调和函数。一个解析函数的实部和虚部又叫做共轭调和函数。 其中 称为拉普拉斯算符。同理可得 (A) (B) 说明： 解析函数的实部和虚部不独立，通过C-R条件联系着。 若给定一个二元调和函数，假定它是某个解析函数的实部(或虚部)，利用C-R条件可求出相应的虚部(或实部)，并确定此解析函数(仅差一个常数因子)。 调和函数：若二元实函数H(x,y)在区域B上具有连续的二阶 偏导数，且满足拉普拉斯方程?2H=0，则称H(x,y)是区域B上的调和函数。 3、给定实部或虚部，求解析函数 已知二元调和函数u(x,y)是解析函数f(z)的实部，求相应的虚部v(x,y)。首先虚部的全微分为 容易验证上式是全微分，因为 C-R条件 性质2 因此可以求出解析函数的虚部 （1）曲线积分法：选取特定积分路径，将上式积出。 （2）凑全微分显式法：将积分号里面凑成全微分显式。 （3）不定积分法： 求解上述积分的具体办法有： 先对x(或y)求部分积分，引入关于y(或x)的待定函数，再用C-R条件确定该函数。 例1. 已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=x2-y2, 求虚部和这个解析函数。 （1）曲线积分法: 解：因为 ，所以u(x,y)是调和函数。 C-R条件 上式与积分路径无关，因此选取特殊路径，如图： 于是dv=2ydx+2xdy，这是一个全微分，直接积分得 其中C=v(0,0)为常数 （2）凑全微分法： O (x,0) y x (x,y) 于是得 （3）不定积分法 （A） 第二式对y积分，x视为参数，得到 上式两边对x求偏导 ，并与式(A)的第一式相比较，得到j ’(x)=0，即j(x)=C，因此虚部为v(x,y)=2xy+C. 最后得到解析函数： 例2. 已知解析函数f(z)的虚部为 ，求解与之对应的实部u(x,y)和这个解析函数。 解：极坐标系下 x=?cos?, y=?cos?, ?=(x2+y2)1/2。 因此 于是v的偏导数为 由C-R条件 ，得到 因此实部为 解析函数为 §1.5 平面标量场 物理及工程中常常要研究各种各样的场(field)，如电磁场、声场、温度场等，一般情况下，场都随时间和空间变化。 恒定场：与时间无关。如静电场、流体中的稳恒流速场等，都是有源无旋。 平面场：在空间的某方向上是均匀的，只在垂直于该方向的平面上变化的场。 解析函数能很好地描述无源无旋平面场。 1、平面静电场 若某个解析函数的实部或虚部是静电场的电势，则该解析函数叫做平面静电场的复势。 考虑电势由u(x,y)描述, 那么u(x,y)=C1给出等势线族. 由解析函数性质1可知, v(x,y)=C2给出与等势线垂直的另一个曲线族---电场(力)线族. 为了了解v本身的物理意义，计算穿过曲线AB的电通量(