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附录2 复变函数概要 复变函数通过复平面描述平面问题，兼有直角坐标和极坐标的优点。同时复变函数的一些性质，例如映射、保角变换和柯西积分等均有利于弹性力学问题的边界条件转化和求解。因此复变函数成为弹性力学问题求解的重要工具。 下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。 由两个实数x，y确定的数z=x+iy称为复数。x，y分别称为复数z的实部和虚部，记作 x=Re z 和 y =Im z。 Re和Im分别为表示复数实部和虚部的符号。其中称为虚数单位。 显然z可以用直角坐标系（x，y）表示，x称为实轴，y称为虚轴。坐标平面称为复平面，或者z平面。因此，z平面上的任一点可记作 称为复数z的模， 称为z的幅角，其在[0，2?]之间的值称为主幅角。显然，复数可以写作极坐标表达形式。 设有一个复数z=x+iy 的集合g。对于集合g中的每一个复数z都有对应的复数值，w=u+iv，则称w是z的复变函数，记作w = f (z)。 给定一个复变函数就是在点（x，y）与（u，v）之间给出了一一对应关系。因此，u，v均随x，y而确定，这就是说给定了一个复变函数和给定两个实变函数 u=u（x，y）， v=v（x，y）是等价的。而且 w=u（x，y）+iv（x，y） 复变函数和实变函数同样有单值函数和多值函数，应该注意到实变函数的性质对于复变函数可能是不成立的。例如复变函数中的对数函数w=ln z 是多值的。 为了便于理解，以对数函数为例。设。上式对于z的所有不等于零的复数值定义了函数ln z。在公式中包含一个任意的整数k，这就是说ln z是一个多值函数。对于k的任一整数值，就有函数ln z 的一个分支。通常取k=0的那一支叫做的主值，即 如果z的一个值对应着w的一个值，那么函数 f（z）是单值函数；如果z的一个值对应着两个或两个以上的w值，则f（z）是多值函数。 集合g称为f（z）的定义集合。复变函数的导数与实变函数的导数定义是相同的。因此，关于实变函数的一系列微分公式与法则，可以完全照搬到复变函数上。不过应该注意的是，复变函数的变量是复变量，不是实变量。值得指出的是，实变函数的可导性要求当x＝x0+?x 由左右两方趋近x0时，?y/?x的极限都存在而且相等。复变函数的可导性则要求当点z＝z0+?z 在复平面上沿任意路径趋近z0时，?w/?z 的极限都存在，而且这些极限都相等。讨论点z 沿x 轴和点z 沿y 轴方向趋近x0两种情况。在第一种情况下，由于?y=0，因此?z =?x，而 。 令 ，取极限则。 在第二种情况下，由于?x=0，因此?z =i?y，而。 令，取极限则。 因此，若复变函数的导数 f (z0) 存在，则应有关系。 上述关系称为柯西--黎曼（Cauchy--Riemann）条件。 对于解析函数w=u（x，y）+i v（x，y），由于满足柯西--黎曼条件，即解析函数实部和虚部之间满足关系 。? 所以，。 上式即平面上的拉普拉斯（Laplace）方程，这个方程的解称为调和函数。所以解析函数的实部和虚部都是调和函数。 映射函数w=f（z）将z平面上点的集合变换到另一个平面（w平面）上的一个点的集合。解析函数w=f（z）在点z0所实现的变换，是把点z0 处的所有线素皆按同一比例伸长，而且任意两条曲线之间的交角保持不变。具有这种性质的变换称为保角变换。 解析函数所实现的变换在其导数不为零的一切点处都是保角的。 函数w=f（z）的定义集合是z平面上的一个点的集合g，而把函数集合G看成是另一个平面（w平面）上的一个点的集合，那么w=f（z）在几何上就是把集合g变到集合G的一个变换（映射）。设解析函数w=f（z）把z平面上的点z0变到w平面上的点w0=f（z0），把过点z0的曲线C变到过点w0的曲线C1点z0+?z为C上点z0的邻近点，点w0+?w为C1上点w0的邻近点，而且为z0+?z的对应点。这时?z为从点z0到z0+?z的矢量，而?w为从点w0到w0+?w的矢量。由w=f（z）的解析性可知，当?z→0，有?w→0。而且，不论曲线C如何选取，这一关系都将成立，那么取模则有 上式表示了z平面上在所给点z0 的线素与对应的w平面上的线素的比值，这个比值与从z0点所引的曲线无关。代表平面上的线素对于z平面上的线素的倍数。因此，称它为伸长系数。考虑幅角可得 这里设f (z0)≠0，否则幅角将无法确定。 因为商的幅角等于被除数的幅角减去除数的幅角，所以。 因为 当?z时， 。所以 设??和??是曲线C1与C2在对应点的切线与实轴的交角。因此 上式表示在平面上过点z0的任一条曲线的切线变到平面时都转过同一个角度，这个角度的大小就是arg f (z0)。由于这个性质，将arg f (z0) 称为变换的旋转角。由此可见，如果