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2000年 工程图学学报 2000 增1 JOURNALOFENGINEERING GRAPHICS SNo．1 ——■一II——I—■—■■■■●—■■■—■——● _：■ 关于主径圆问题的研究 ’； 华北航天工业学院 王书文 摘要研究了由椭圆的一对共轭半径求其长短轴所用的主径圃有两种共四 个，讨论了这四个主径在实际应用中的联系与区别。利用主径圆原理推导了椭圆 共轭半径与其长短半轴之间的关系式，为用计算机求解椭圆长短轴的大小及方向 提供了数学模型。最后讨论了在已知椭圆上求任意一对共轭半径的解析定位问 题。 关键词主径圆，椭圆，共轭半径，长短半轴 0引言 在仿射几何中，主径圆是指由椭圆的1对共轭半径求其主轴方向及大小时所用的两个 圆。实际上，还有两个圆也可以用做主径圆，这两个圆至今还未被人所用。这两种主径圆具 有共同的性质，其作图原理及方法人同小异，因此，主释圆有四个。本文就此问题展开了讨 论，井对它们住实际应用中的联系与区别以及为用计算机求解建立了数学模型等方面做了探 讨。 1 两种主径圆及其相互关系 目前常心的一种主径圆其原理如r：已知椭圆的一对共轭半径OM、ON，根据椭圆的 一 @黟 一 酬I第一种主径圆 奉空丁1999年3H收到． 秆种：上柏文，]959午生，硕【．．副教授，主要研究领域为理论陶学。 -2- I程囤学学报 2000年 形的一边^‘与椭圆的长轴04方向一致，另一边N．G与其短轴OB方向一致。同时oM、 DG分别与椭圆的长短，卜轴等长。由此便得到己知椭圆的一对共轭、}径作出其长短轴大小及 方向的方法，即以Ⅳl的中点L为圊一tl,，以mf为、F径作圆S，圆S与O吧及其延长线的交 点分别为G和肘。MG、N．G分别为长短轴的方向．OM、OG分别为长短半轴的大小。圆 s的直径d=-OM一。僻0叫一∞。这里圆S称为主径圆。 如果将ANNH绕中心0按逆时针转90。，如图1(b)．用同样的方法可作出主径圆j， 其直径d=OA+OB，并以MG及ME确定长短轴的方向。显然，这两个主径圆的直径为椭 圆长短、卜轴的代数和。 =OA。故对任意位置的^以线段尸Q的长度是不变的，并且等于椭圆两、}轴之和OA+OB。 0t,oo即为长短轴的方向。 图2第二种主径圆 和9。这里，△上^扩一△￡尸0，而￡^产￡^所以￡P：LD。同样可知LO=LQ。故点P，Q， 个圆j的直径也为椭圆艮短半轴的代数和，OP和oQ为长短轴的方向。图1中的圆s和图 2中的圆S具有相同的性质，图2中的两个圆也是主径圆，因此，主径圆有四个。它们的共 同性质是：①主径圆的直径均为椭圆长短、}轴的代数和；②图1(a)和图2(a)中的主径圆同 心，图l(b)和图2(b)中的主径圆同心。它们的区别是：确定椭圆长短半轴的大小和方向所利 用的线段不同．因此导致作图步骤有些差异。圈3(a)是以图l(a)的主径圆法求椭圆的长短 一 轴，步骤如F： (1)将ON顺时针转90。至ONt位置； (2)取Ⅳ1M的中点￡，连接OL； 增1