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摘要： 关键词： 英文题目 Abstract: Key words: 1 引言 2 研究问题及成果 2.1 2.2 2.3 3 结束语 参考文献 [1] 张三. 高等数学[M].上海：高教出版社，2008:44-77. [M]表示参考的是书 [J] 表示参考的是杂志上的论文 分工情况 第一部分由张三完成 第二部分由李四完成 华 北 水 利 水 电 学 院 题目：微分中值定理及其应用 课 程 名 称： 高等数学A2 专 业 班 级： 地理信息系统 成 员 组 成： 张进才 201101116 梅柳春 201101129 联 系 方 式： 6月 1 日 摘要：本文首先介绍了微分中值定理之间的内在联系，以及它们的推广；接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:“讨论方程根（零点）的存在性” ,“ 求极限”和“证明不等式”等方面的应用。 关键词：微分中值定理 联系 推广 应用 举例 Differential mean value theorem and Application Abstract: This paper describes the intrinsic link between the differential mean value theorem, and their promotion; then look at the differential mean value theorem in solving problems, such as: the discussion of the roots (zero) in existence, limit and proof of in equality. Key words: Differential mean value theorem; Contact; Promotion; Application 1 引言 微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带因而在微分学中占有很重要的地位。微分中值定理是一系列中值定理总称，以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理讨论零点的存在性, 证明微分中值定理的内在联系的应用。罗尔定理、拉格朗日定理柯西定理Cauchy）定理”。这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理 若在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使。 Lagrange定理 若在上连续，在内可导，则至少存在一点，使 Cauchy定理 设，在上连续，在内可导，且，则至少存在一点 ，使得 。 三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日定理和柯西定理，看看这两者之间又是如何的联系？我们先对柯西定理进行观察，从观察中会是我们作出这样的假设，如果令定理中的的话，发现定理成为了拉格朗日定理。这使得我们发现他们二者之间的联系， 拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。 总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。 如果我们从几何的意义上来看这三个中值定理的话，那它们之间又是如何的呢？在这里我们不具体的给予研究，而是直接给予结果。若用几何解释：“若一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，且存在的切线于轴相交的夹角不为直角；那么像这一类曲线具有共同的属性——曲线上有一点，它的切线与曲线端点的连线平行”。 2.4定理的推广及证明 前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数在上是连续，在内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间，把它推广到无限区间或，再把开区间推广到无限区间或的话，则这些定理