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10.2 一阶微分方程.pdf
10.2 一阶微分方程 10.2.1 变量可分离方程 ( ) (dg )y fy x dx 变量可分离的微分方程. 4 4 例如 dy x2y 2 5 5 2 y dy x dx2 , dx 解法 设函数g (y ) f和(x ) 是连续的, g y(dy) f x(dx) 分离变量法 设函数G (y ) F和(x ) 是依次为g (y ) f和(x ) 的原函 ( ) 数, (G)y F x C 为微分方程的通解. 例1. 求微分方程 dy x 3y 2 的通解. dx 解: 分离变量得 dy 2 说明: 在求解过程中 3x dx y 每一步不一定是同解 两边积分 dy3 x dx 2 变形, 因此可能增、 y 减解. y x ln C 3 得 1 3 3 y e x C 1 e eC1 x 即 C 令e C 1 3 y C e x ( C 为任意常数) ( 此式含分离变量时丢失的解y = 0 ) x yd x ( x 1) dy 0 2 例2. 解初值问题 (0) y 1 dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1x 1 ln ln y ln C 两边积分得 2 x 1 即 2 ( C 为任意常数) y x C 1 由初始条件得C = 1, 故所求特解为 2
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