第一讲++数学思想方法学习过程与教学原则.docVIP

第一讲 数学思想方法的学习过程与教学原则 我们把“数学思想方法”描述为：是人们对数学内容本质的认识，是对数学知识的抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴。数学方法是处理、探索、解决问题的技巧、手段和工具，它的特点是比较具体简单。数学思想是数学中处理问题的基本观点，是对数学内容的本质概括，是解决数学问题的指导方针，它的特点是较为抽象，属于较高层次的地位。数学思想和数学方法是很难区分的，因此，人们常常不加区分，而统称为数学思想方法。 一、数学思想方法的内容、特点和作用 数学科学正如希尔伯特所说：她是描绘现实世界的一种方式和创造现实世界的一种力量。数学思想方法反映了数学的本质和发展，反映了数学的发明、发现与创造，是数学科学的核心。 （一）数学思想方法的基本内容 数学可以说是由三部分内容组成的：基本知识、基本技能、基本思想方法，简称“三基”。数学思想方法是数学的重要组成部分。 数学思想方法可分成三类： 1、思想观点类，例如公理化的思想，转化思想，极限思想，结构思想等等。 2、思维方法类，例如分析与综合，抽象与概括，演绎与证明，观察、类比、归纳、猜想等等 3、技能技巧类，例如待定系数法、配方法、坐标法、换元法等等。 中学数学的基本思想方法有：转化（或化归）的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想，观察、归纳、猜测的思想，函数、方程、不等式的思想，数学归纳法、待定系数法、换元法、反证法、配方法、坐标法、分析法与综合法等。 （二）数学思想方法的核心 数学思想方法的核心是转化的思想。数学中的一切问题的解决归根结底就是转化，把未知的转化为已知的，难解的转化为易解的，数转化为形，形转化为数，实际问题转化为数学问题，等等。因此数学思想方法中的其它思想方法，也都是依据转化思想得来的，实际上从哲学角度来看，事物之间互相联系与转化，不断发展变化。 （三）数学思想方法的特点 就数学而言，她有三大特征：抽象性，精确性，应用的广泛性，作为反映数学本质的数学思想方法，有三大特点： （Ⅰ）抽象性， （Ⅱ）指导性， （Ⅲ）应用的广泛性 （四）数学思想方法的作用 数学思想方法有广泛的应用，在人们的各种认识和实践活动中都能发挥作用，表现出多重功能，概括地说，数学思想方法是思维的工具，计算机产生与发展的基础，解决问题的最有效的方法。 1、数学思想方法是思维的工具 诺贝尔物理学奖得者麦克斯·冯·劳厄把数学称为“思想工具”，而数学思想方法反映数学的本质是核心，所以其思想的力量是数学思想方法提供的，表现在以下三个方面： 第一、数学思想方法具有一种抽象思维的能力。运用数学思想方法，对所要研究的问题建立数学模型，必须发挥其所独具的抽象思维能力，即善于把无关紧要的东西先撇在一边，抓住最主要的因素、关系，进行深入地分析和综合，经过合理的简化，把问题用数学语言表述出来。在这样抽象出来的数学模型上展开数学的推导和演算，以形成对问题的判断和预测，这是数学用抽象思维去把握现实的力量所在。 第二、数学思想方法是数学思维的基本方法。数学思维就是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系的认识的思维过程。数学思维过程就是不断地提出问题、解决问题的过程，由于解决问题的过程最后总可以归结为应用思想方法的过程，因此，可以认为数学思维过程就是使用思想方法提出和解决问题的过程。 第三、数学思想方法：辩证的辅助工具和表现方式。数学有自己特殊的表现方式，即用数学的符号语言，甚至是用简明的数学公式表达出各种对立面的转化，例如有限与无限，近似和精确的辩证关系。要真正掌握好数学思想方法工具，只是知道许多数学知识是不够的，必须善于发现各种概念之间，各种运算之间，以及各个分支之间的关系，并且善于建立和运用它们之间的各种转化，这样才能发挥出蕴藏在数学思想方法中的辩证思维的力量。数学思想方法之所以强有力，无论是计算方法之灵巧，还是推理论证之美妙，常常在于有意识地利用或创造了各种转化。正象恩格斯说的：从一种形式到另一种相反的形式的转变，是数学科学的最有力的杠杆之一。 2、数学思想方法是计算机产生与发展的基础。计算机即信息技术是数学对现代文明的最大的贡献，也使数学本身的计算和推理进入一个崭新的时代。计算机帮助人们获得快速而准确的计算能力，许多新技术正是攻克了计算难关而“起飞”的，在计算机上进行数学证明，使数学推理机械化，可以帮助人们节约思维劳动，人脑加上电脑，实现人工智能，极大地增强了人的思维能力。 二、数学思想方法的学习过程 数学思想方法学习的意义在于，促成对正确方法的盲目地、不自觉地模仿应用向有意识地、自觉地应用转化，而要达到这种状态，必须通过学习者自身的不断体会、挖掘、领悟、深化才能实现。 （一）掌握数学思想方法的过程 1、数学思想方法学