第3章静态场及其边值问题的解09129.ppt

2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 第一课 第一课 第一课 3.1 静电场分析 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.4.1 边值问题的类型 3.6 分离变量法 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。　 非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代 1. 问题的提出 　几个实例 　接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。 q q′ 非均匀感应电荷 等效电荷 3.5 镜像法 　 接地导体球附近有一个点电荷，如图。 非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代 　 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。 q 非均匀感应电荷 q′ 等效电荷 　结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。 　问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？ 2. 镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法 3. 镜像法的理论基础——解的惟一性定理 像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” ； 4. 镜像法应用的关键点 5. 确定镜像电荷的两条原则 　等效求解的“有效场域”。 　镜像电荷的确定 　像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中； 　像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定。 1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。 3.5.1 接地导体平面的镜像 镜像电荷 电位函数 因z = 0时， q 有效区域 q 上半空间( z≥0 ）的电位函数 q 导体平面上的感应电荷密度为 导体平面上的总感应电荷为 2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 镜像线电荷： 满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。 电位函数 原问题 有效区域 当z=0时， 3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1, d2 )处。 　 显然，q1 对平面 2 以及q2 对平面 1 均不能满足边界条件。　 对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 ) 只有在(－d1, －d2 )处再设置一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能 得到满足。 电位函数 q ? d1 d2 1 2 R R1 R2 R3 q1 d1 d2 d2 q2 d1 q3 d2 d1 ?/2 ? q ? ? ? 夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。 夹角为 的导电劈需引入 3 个镜像电荷。 ? q ? ?/3 ? ? ? ? ? ?/3 q 电场线 等位线 Z ? ? 电偶极子场图 例3.5.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？。 q q x ? =∞ ?0 d -d 解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至无穷远时电场力所做的功。　 　 由镜像法，感应电荷的电场可以 用像电荷q＝－q 替代。当电荷q 移 至x时，像电荷q应位于－x，则有 3.5.2 导体球面的镜像 1. 点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷 q’’来等效。q’应位于导体球内（显然 不影响原方程），且在点电荷q与球 心的连线上，距球心为d。则有 如图所示，点电荷q 位于半径 为a 的接地导体球外，距球心为d 。 方法：利用导体球面上电位为零确定 和q′。 　问题： P q