积分中值定理在数学分析中的应用(优秀毕业论文).docVIP

洛阳师范学院 本科毕业论文 学生姓名 欧露露 学号 080424011 所在院(系) 数学科学学院 专业班级 08级信息与计算专业 指导教师 李向阳 完成地点 洛阳师范学院 2012年 5月 30日  积分中值定理在数学分析中的应用 欧露露 （洛阳师范学院08级信息与计算专业） 指导老师：李向阳 [摘 要] 本文主要介绍了积分中值定理在数学分析中应用时的注意事项及几点主要应用,这些应用主要是：一.求函数在一个区间上的平均值;二.估计定积分的值;三.求含有定积分的极限;四.确定积分的符号;五.证明中值的存在性命题;六.证明积分不等式;七.证明函数的单调性. [关键词] 积分;中值;定理;应用 1 引言 积分中值定理是数学分析中的主要定理之一,同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,从而我们可以通过被积函数的性质来研究部分的性质,有较高的理论价值和广泛应用.本文就其在解题中的应用进行讨论. 2 预备知识 定理 2.1[1] (积分第一中值定理) 若在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点使得 . 证明 由于在区间[a,b]上连续,因此存在最大值和最小值.由 , 使用积分不等式性质得到 , 或 . 再由连续函数的介值性,至少存在一点,使得 定理 2.2[1] (推广的积分第一中值定理) 若在闭区间上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得 证明 推广的第一中值积分定理 不妨设在上则在上有 其中,分别为在上的最小值和最大值,则有 若,则由上式知,从而对上任何一点,定理都成立. 若则由上式得 则在上至少存在一点,使得 即 显然,当时,推广的积分第一中值定理就是积分中值定理 3 积分中值定理的应用 由于积分中值定理可以使积分号去掉,从而使问题简化,对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式和不等式,也可以考虑使用积分中值定理. 在使用积分中值定理时要注意以下几点： 在应用中要注意被积函数在区间上连续这一条件,否则,结论不一定成立. 例如 显然在处间断. 由于 但在上,,所以,对任何都不能使 . (2) 定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉. 例如 令 由于 , 但 所以,不存在 , 使 (3) 定理中所指出的并不一定是唯一的,也不一定必须是的内点. 例如 令,则对都有 , 这也说明了未必在区间的内点. 下面就就其应用进行讨论. 3.1 求函数在一个区间上的平均值 例1 试求在上的平均值. 解 平均值 例2 试求心形线上各点极经的平均值. 解 平均值 注 在解某区间上一个函数的平均值时,我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分,然后积分结果除以区间的差值.在这里主要是应用了积分第一中值定理,所以求解其类问题时,一定要理解积分中值定理的定义. 3.2 估计定积分的值 例3 估计的值. 解 由推广的积分第一中值定理,得 其中 因为 所以 即 故 例 4 估计的值. 解 因为在上连续,且 ,, 所以由积分第一中值定理有 . 在估计其类积分的值时,首先我们要确定被积函数在积分区间上连续的基础上确定被积函数在积分区间上的最大值和最小值,然后再利用积分中值定理就迎刃而解了. 例 5 估计的值. 解 因为在上连续,在内可导, 且在内无解, 即 , 等号仅在时成立.故在内严格单调增, 即 , 所以由积分第一中值定理有 . 在估计其类积分的值时,首先要确定要积分的函数在积分闭区间上连续,在开区间上可导,然后判断函数在积分区间上的单调性,最后利用积分中值定理就可以估计积分的值了. 综上,在利用积分中值定理估计积分的值时,我们要根据不同的题型给出不同的解决方法,这也是我们在学习过程中逐渐要培养的,积累的好习惯. 3.3 求含有定积分的极限 例6 求极限为自然数. 解 利用中值定理,得 因为在上连续,由积分中值定理得 当时,,而||. 故 ==0. 例7 求. 解 若直接用中值定理 =, 因为而不能严格断定,其症结在于没有排除,故采取下列措施 =+. 其中为任意小的正数. 对第一积分中值定理使用推广的积分第一中值定理,有 . =,. 而第二个积分 =, 由于得任意性知其课任意小. 所以 =+=0. 注 求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号.在应用该定理时,要注中值不仅依赖于积分区间,而且还依赖于根式中自变量的趋近方式. 3.4 确定积分的符号 例8 确定积分的符号. 解 =+=+=+