华理高数全部复习资料之 多元函数微分学.docVIP

第11章 多元函数微分学 内容提要 1. 基本概念、定理与公式 (1) 二元函数的定义 设有三个变量 ，如果对于变量 的变化范围内每一对数值，按照一定的法则，变量 总有一个确定的数值与之对应，则称变量 是变量 的二元函数，记做 。 (2) 二元函数的极限 则 。 (3 ) 二元函数的连续性 设函数 在 的某领域内有定义，分别给自变量 在 处的增量 ，得全增量 。若极限 ，则称 在 处连续。 (4) 偏导数 1） 在 处的偏导数 设 在 的某领域内有定义，给自变量 增量 ，而 保持不变，即 ，相应地得到函数关于 的偏增量 ，即 ， 如果极限 存在，则该极限值就称为 在 处对变量 的偏导数，记为 或者 。同样可定义 在 处对变量 的偏导数，记极限值 为 或者 。 2） 在区域D内的偏导数 .若 在区域D内每一点处，对 或对 的偏导数都存在，此时称函数 在区域D内可导。这两个偏导数也是 的二元函数，记做 。 3）高阶偏导数 关于 或 的偏导数称为 的二阶偏导数，分别记为 对二阶偏导数再求偏导得三阶偏导数，依次类推。二阶及二阶以上偏导数称为高阶偏导数。 (5) 全微分 设函数 在点 的某邻域内有定义，若全增量可表示为 其中 与 无关， ，则称函数 在点 处可微， 称为 在点 处的全微分，记做 。 若 可微，则有 。从而 其中 (6) 方向导数与梯度 设 在 的某领域内有定义，自点 引有向直线L（方向向量为 ），L上点 ，若 存在，称此极限值为函数 在点 沿方向 的方向导数，记为 ，即 ，其中 称向量 为二元函数 的梯度。 (7) 基本定理 定理1 (可微的必要条件) 若 在点 处可微，则在该点处 必存在，且有 。 定理2 (可微的充分条件) 若 的两个偏导数 在点 的某领域内存在，并且在点 处连续，则 在点 处可微。 定理3(混合偏导相等的条件) 若 的两个混合偏导数 及 在区域D内连续，则有 定理3 (可微与方向导数的关系) 若 在点 处可微，则在该点函数沿任一方向 的方向导数均存在，且其值为 ，其中 为 关于 轴的方向角, 为 同方向的单位向量， 为梯度。 2．微分法 (1) 简单显函数 的微分法 求 时，将y当作常数，利用一元函数的求导公式和导数的运算法则，即可求得，求 类似。 注：若是求分段函数在分段点处的偏导数，要用定义求。 (2) 复合函数微分法（链式法则） 设 在点 处有偏导数，而函数 在对应点 可微，则复合函数 在点 对 及 的偏导数为 注：1．若 ， ，则 关于 及 的偏导数为 此处 。 中 是自变量为 ， 的二元函数，而 中 是自变量为 ， ， 的三元函数。 2．若 ， ， ， ，则 对自变量t的全导数为 (3) 隐函数微分法 1）由方程 确定隐函数 ，则 2）由方程 确定隐函数 ,则 3）由方程组 确定隐函数 ，方程两边对 求导得 解此方程组可得 ， 。 4）由方程组 确定隐函数 ，方程两边对 求导得 解此方程组可得 ， 。 方程两边对 求导得 解此方程组可得 ， 。 3. 几何应用 (1)空间曲线的切线和法平面方程 1）若空间曲线 的方程为： ，则曲线在 的相应点 处的切线方程为： ， 法平面方程为： 特别地， i）当 的方程为： ，则曲线在点 处的切线方程为： ， 法平面方程为： . ii）当 的方程为： ，则曲线在点 处的切线方程为： ， 法平面方程为： . iii）当 的方程为： ，则曲线在点 处的切线方程为： ， 法平面方程为： . 2）若空间曲线 的方程为： ，则曲线在点 处的切线方程为： , 法平面方程为： . (2) 空间曲面的切平面及法线方程 1）空间曲面方程为 ，则曲面在点 处的切平面方程为： 法线方程为： 2）空间曲面方程为 ，则在点 处的切平面方程为： 法线方程为： 4. 二元函数的极值 (1).无条件极值 1）定义 设 在点( )的某领域内有定义，若对该领域内异于点( )的任一点 ,恒有 ，则称 是 的极大值（或极小值），极大值极小值统称为极值，点( )称为极值点。 2）极值的必要条件 设 在点( )可微，而且 是 的极值点，则有 与 同时成立。点( )称为 的驻点。 3）极值的充分条件 设z=f(x,y)在驻点 的某领域内有二阶连续偏导数，记 ， ，则 i）当 时， 是 的极值点；若 ，则 是极小值点；若 ，则 是极大值点。 ii）当 时， 不是 的极值点。 iii）当 时，无法判断。 (2) 条件极值 在条件 下的极值问题称为条件极值问题。常用拉格朗日乘数法解。 复习指导： 学习指导 1．二元及二元以上函数只与定义域和对应法则有关，而与变量符号无关；二元函数的定义域是一平面区域；二元函数在几