广西大学数理统计总结.docVIP

绪论 绝对误差e=，绝对误差限|e|=||，相对误差=，相对误差限。 如果的相对误差限，则至少有位有效数字。 如果有位有效数字，则相对误差限。 直接法 1、Gauss消去法：初等变换解线性方程组 2、若方阵A可以分解成下三角矩阵L和上三角矩阵的U的乘积，A=LU，称为LU分解。若L为单位下三角矩阵，为Doolittle分解，若U为单位上三角矩阵，为Crout分解。若A=LDR，L、R为下、上三角矩阵，D为对角矩阵，称为LDR分解。A=LDR具有唯一性的充要条件是A的各阶顺序主子式都不为零，。 3、（方框）Doolittle分解：A=LU，L为单位下三角矩阵。U第一行， L第一列，U的第k行元素， L的第k列元素， 由A=b，换成LU=b。（如果是正方形就是A那个点的值减去边角相乘，矩形就是找能相乘的对角。） 4、向量的范数：1范数：（求和） 2范数：（平方和开根号） 范数：（最大值） 5、矩阵的范数：1范数：，列和最大 范数：，行和最大 2范数：，其中，为的特征值，。为矩阵A的谱半径。 A或者b的微小变化带来x的很大变化，为病态方程组，A为病态矩阵。（范数） 矩阵的条件数，谱条件数：。一般用范数。Cond(A)越大，病态越严重。 Ax=b，近似解，精确解。余量。。 迭代法 1、迭代法基本原理： ①：迭代法： ②：((，迭代格式收敛) ③：至少存在一种矩阵的从属范数，使 Jacobi迭代：,D=diag()，I为单位矩阵。 ，i=0,1,2... 取一个初值（的矩阵），左边是，右边是，直到《。 Gauss-Seidel迭代： ， 。 如果，A为严格对角占有矩阵，同时J和G迭代法收敛。 插值法 插值区间，[a,b]。插值点。插值条件。插值多项式 2、Lagrange插值：， 插值基函数： 余项：， 3、一阶差商： 二阶差商： 阶差商： 阶差商与导数的关系： 差商插值多项式： 4、分段线性插值： 插值基函数： 余项：分段余项 Hermite插值法：两个节点，是不超过三次的多项式，在点， 公式：四个插值基函数 ， ， 余项 数值逼近 在区间[a,b]上所有连续函数组成的空间，记作C[a,b]。F的范数为，。 内积，为权函数。 Euclid(欧几里得)范数： 逼近的两种度量标准，一致逼近和平方逼近。 Chebyshev(切比雪夫)定理：P（x）是f(x)最佳一致逼近多项式P（x）在[a,b]上至少有n+2个交错点组。P（x）具有唯一性。 Gramer行列式不为零，则函数族线性无关。 对于任意的函数 通常取。 计算方法：先计算，由，，。 计算出A来，再由，算出最佳平方逼近多项式 均方误差： 最大误差： Chebyshev多项式：，区间为[-1,1]，由正交化得到的正交多项式，。一般 性质：在区间[-1,1]上所有最高次项系数为1的一切n次多项式中，与零的偏差最小，偏差为。（一般用来解【-1,1】区间的最佳一致逼近） Legendre多项式：，区间为[-1,1],由正交化得到的正交多项式，。一般 。（一般用来解【-1,1】最佳平方逼近多项式）。。 均方误差 离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘法拟合方程）：=其中 数值积分 数值微分 插值型的求积公式：。 余项 Newton-Cotes公式：将区间[a,b]划成n等分，步长，节点。， 当n=1,为梯形公式，系数为1/2,1/2 。当n=2为Simpson公式，系数为1/6,4/6,1/6 。当n=3时，系数为1/8,3/8,3/8,1/8 某个求积公式对次数不大于m的多项式能准确成立，对(m+1)次不能准确成立，则求积公式有m次代数精度 机械求积公式至少有n次代数精度它是插值型的。 当n为偶数时，Newton-Cotes公式至少有（n+1）次代数精度。 6、复化的梯形公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用梯形公式 复化的Simpson公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用Simpson公式 Romberg算法：令表示步长为的第m次加速计算获得的近似公式。复化梯形公式做第一次迭代，Romberg为后面几次迭代（2、3次）。 复化梯形公式：， Romberg算法： 数值微分：向前差商、向后差商、中点公式。中点公式比其他两个好，分为一阶和二阶公式： 一阶： 二阶： 解非线性方程的数值分析（求根） 二分法的基本原理（零点定理），误差：。， Newton法是求解非线性方程的最有效方法（收敛速度快）：，初值。 割线法：函数复杂，计算导数值比较困难用的算法。，初值。 矩阵特征值 乘幂法（求解矩阵模数最大的特征值）：特征值，特征向量，k为迭代次数，初始特征向量为。，，，依次迭代，一般迭代三次。 反乘幂法（求解矩阵模数最大的特