关于范数的理解或定义.docVIP

I、向量的范数 向量xR的范数f(x)是定义在R空间上取值为非≠ 0,xR有f(x)0; (非负性） 2 对于所有的R有f(x）=f(x); （正齐性） 3 对于所有的x,yR有f(x+y)f(x)+f(y). （三角不等式） 一、 一般情况下，f(x)的具体模式如下： = ，p 也称它为p-范数。 下证p-范数满足上述的三个性质： 1、对于所有的xR，x≠ 0，显然是大于0的，故性质1成立。 2、 由 = = = 知性质2成立。 3、欲验证性质3，我们的借助下列不等式： 设p1,q1,且 + = 1，则对所有的有 证： 考虑函数，因为，由=0 t=1,又因为，所以当t = 1的时候取最大值，则有： ， 令t = ,代入可得： , 化简之后即得： 证毕！ 又令，，代入上不等式可得： ，两边同时对i求和，并利用 关系式 + = 1可知： 从而有： 另一方面，又有： 左右两边同时除以得： 。 由此可知：p-范数对于性质 3也是成立。（把这个也弄懂了，好高兴！） 下面是几种p-范数的特例： 1 = ; (此时p=1) 2 = ; (此时p=2) 3 = ; (此时p=) 对于这第三种的特例，事实上，设= = ，有 = = 即是当时， . 二、 f(x)除了有p-范数模式以外，还有一种形式，叫椭圆范数，它的定义如下： 其中A是正定矩阵，当A=I时，就是一般的2-范数 下证椭圆范数也满足范数定义的三个性质： 1、因为A是正定矩阵，所以对于显然0成立，即满足性质； 2、 ，故性质成立； 3、 欲证性质，先证柯西不等式，即： 证： 因为 该二次多项式是非负的，所以 ，即 证毕！ A是正定的，所以与I是合同的，即存在可逆矩阵P，s.t 令X=Px,Y=Py, 则上式等于 下证： 欲证 （左右两边平方后化简得） 即证 （两边平方） 所以要证 由柯西不等式可知，上不等式成立；即 成立 又 同理 综上所述，有，所以椭圆范数也满足性质。 三、 对于一个已知的范数，借助于一个非奇异矩阵，可诱导出一种新的范数。设是x的某种范数，P是非奇异矩阵，定义 下证范数满足范数的三条性质： 因为是x的某种范数，则满足范数的三条性质；且P是非奇异矩阵，则Px. 1、任意的x≠0,Px≠0,且Px，所以 0成立； 2、 ； 3、，因为Px,Py,则有 。 有以上可知范数对于一般范数的三条性质都是成立的。 四、 下证: R空间上的所有范数都是等价的。 引理一 R空间上的任意范数对所有的x,yR有 证： 已知 = 同理 于是有 引理二