反证法和数学归纳法探讨.docVIP

第12讲：数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨 一、反证法的应用： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1：（2012年上海市理18分）对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P. （1）若＞2，且，求的值；（4分） （2）若X具有性质P，求证：1(X，且当n＞1时，1=1；（6分） （3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分） 【答案】解：（1）选取，则Y中与垂直的元素必有形式。 ∴，从而=4。 （2）证明：取，设满足。 由得，∴、异号。 ∵－1是X中唯一的负数，所以、中之一为－1，另一为1。 故1(X。 假设，其中，则。 选取，并设满足，即。 则、异号，从而、之中恰有一个为－1。 若=－1，则，矛盾； 若=－1，则，矛盾. ∴=1。 （3）猜测，i=1, 2, …, 。 记，=2, 3, …, 。 先证明：若具有性质P，则也具有性质P。 任取，、(.当、中出现－1时，显然有满足。 当且时，、≥1。 ∵具有性质P，∴有，、(，使得。 从而和中有一个是－1，不妨设=－1， 假设(且(，则。 由，得，与(矛盾。 ∴(，从而也具有性质P。 现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, 。 当=2时，结论显然成立。 假设时，有性质P，则，i=1, 2, …, ； 则当时，若有性质P，则 也有性质P，所以。 取，并设满足，即。 由此可得与中有且只有一个为－1。 若，则，所以，这不可能； ∴，，又，所以。 综上所述，，i=1, 2, …, 。 【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。 【解析】（1）根据题设直接求解。 （2）用反证法给予证明。 （3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质P，则也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测，i=1, 2, …, 。 例2：（2012年北京市理13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。 对于A∈S(m，n)，记Ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）； 记K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。 （1）对如下数表A，求的值； 1 1 －0.8 0.1 －0.3 －1 （2）设数表A∈S（2,3）形如 1 1 c a b －1 求的最大值； （3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值。 【答案】解：（1）由题意可知， ∴。 （2）先用反证法证明： 若，则， ∴（无解）。 同理可知。 ∴。 由题设所有数和为0，即， ∴，解得，与题设矛盾。 ∴。 易知当时，存在。 ∴的最大值为1。 （3）的最大值为。 首先构造满足的： ， 。 经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ，， 。 下面证明是最大值。 若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得。 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于。 设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则。另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负。 考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）。 因此，故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾。 因此的最大值为。 【考点】逻辑推理，反证法的应用。 【解析】（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），c j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）