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探讨数列求和问题的基本类型 数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。 利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 例1、已知是一个首项为，公比为的等比数列，求 解：由已知得， 是首项为，公比为的等比数列。 当时， 当时， 例2、已知数列为等差数列，且=，（，，），求。 解：数列为等差数列，公差== 由等差数列求和公式，得 例3、 已知，求的前n项和。 解：由得，∴ ， 由等比数列求和公式得 =＝＝ 例4、 设，求的最大值. 解：由等差数列求和公式得 ， ∴ ＝ ＝＝ ∴ 当 ，即时， 二、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 例5、求包含在正整数与之间的分母为3的所有不可约分数之和。 解：设满足条件的所有分数之和为，则 ， 倒序得 两式相加，得 例6、求的值 解：设…………. ① 将①式右边反序得…… ② 又因为 ，①+②得 ∴ 例7、设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和： 解：因为 例8、求证： 证明： 设…………① 把①式右边倒转过来得 又由可得………② ①②得 ∴ 点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。 例已知函数，点，是函数图上的两个点，且线段的中点的横坐标为． （Ⅰ）求证：点的纵坐标是定值； （Ⅱ）若数列的通项公式为求数列的前m项的和，所以， 点的纵坐标是定值，问题得证． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：对任意自然数，恒成立． 由于，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于： 所以， 所以， 三、累加法 例10、求和 解：由得 ,令得 ，， ，， 把以上各式两边分别相加得： ， 因此， 【想一想】 利用此法能否推导自然数的立方和公式： 【点拨】 利用进行累加. 四、乘公比错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中、分别是等差数列和等比数列。 例11、求和 解：， ① ， ② ①②，得 = = 故 例12、 求和：………① 解：由题可知， 的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积，设……② ①－②得 再利用等比数列的求和公式得： ∴ 【练习】1、数列前n项的和。 2、求和 【答案】1、；2、 五、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例13、求数列的前项和 解 = = = 例14、求数列的前n项和：， 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 当时，＝ 当时，＝ 【练习】1、求数列的前n项和。 2、求数列的和。 【答案】1、；2、 六、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，通项分解（裂项）如： （1） （2） （3） （4） （5） (6) 例15、在数列中，，又，求数列的前n项的和 。 解： 　 ∵ ∴ ∴ 数列的前n项和＝ 例16、设定义在R上的函数对任意实数满足关系式对正整数令且，设，求数列的和 解：由题设有 即所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列 从而，于是 因为 所以= = 例17、求证： 证明：设S=左边，∵（裂项） ＝＝＝ 【练习】1、求数列的前n项和。 2、已知数列{}的通项，求此数列前项和。 3、求证： 【答案】1、；2、，令，各式相加即得结论。 七、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 例18、在各项均为正数的等比数列中，若，求的值。 解：设 ＝ ＝=10 例19、求的值。 解：设 ∵ ∴ 八、数列的“通项分析法”求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. 例20、求之和。 解：由于 ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ 例21、已知数列：的值。 解：∵