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浅谈中学数学中的零点问题 杨志斌 摘要： 本文从数学零点问题出发，讨论了如何运用零点求解不等式和函数零点的求解方法以及怎么利用零点解决一些实际问题。 关键词： 零点定义； 函数； 不等式 在数学领域里，求零点是个常见的问题。我们可以用已知条件求出零点，也可以用零点去解决问题，比如解不等式，方程的有关问题，还有函数问题等等。用零点问题解有些不等式可以把问题简单化，而解方程实际上就是求零点，通过零点问题可以把函数问题形象化。我们了解零点在函数中所反映出来的特点，并且要学会通过零点去解决相应的问题。 一、零点的有关定义 函数零点的定义是：对于函数使的实数叫做函数的零点。零点的特征是：零点附近两侧的函数值异号。当时，在坐标轴上显示的是图象在轴的上方部分的图象；当时，在坐标轴上显示的是图象在轴的下方部分的图象。而时，在坐标轴上显示的是图象在轴的上的的取值。 对于零点还有一个重要的定理，就是零点存在定理。 2004年教育部推出的高中新课程的数学配套教材必修1中就引入了零点存在定理。 零点存在定理：连续函数在的端点处的函数值符号相反，则在内至少有一个零点存在。 交点存在定理：两连续函数与在的端点处的函数的函数值大小相反，则与在内至少存在一个交点。 在中学，很多的问题都可以用零点问题的方法来解决的，有时通过用零点问题的解法可以让问题变得简单化和形象化。 通过学习和对照中学教材的要求，在不等式中，零点问题有它的独特解法。 二、利用零点解不等式 在中学数学课本中，不等式解法都是用不等式的运算法则去求解。这里，我向大家介绍另外一种方法去解不等式，就是利用零点去解不等式。 它的一般步骤可以分为： （1）求零点：变不等式的不等号为等号，求出等值中未知数的值。分式方程要求出分母为零时未知数的值； （2）列区间：把上述所求的零点按从小到大的顺序排好，从开始定区间，一直到。看不等号是否含有等号，如果有则用闭区间，如果没有则用开区间； （3）利用特殊值：将一个比较简单的数代进不等式转化的等式中，看这个数是不是不等式的一个解。如果是，则所求区间是不等式的一个解集；如果不是，则所在区间不是不等式的解集； （4）得出解集：由区间的相间性及第（3）步所求得出的结论得到不等式的解。 （一）整式不等式 1． 只有一个不等号的不等式 下面用简单的例子说明如何应用零点解不等式，例如这道例子，先用原来的方法求不等式。 例1 求不等式。 先用一般的解法解这道不等式。 方法一 解：去绝对值符号， ， 则 ， ∴ 。 方法二 （1）求零点 我们先解出的解，得到。 （2）列区间 ∵不等式的符号为“≤”， ∴区间为, , 。 （3）利用特殊值 我们取代入原不等式，不等式成立，所以为原不等式的解之一。 （4）得出解集 因为在区间上，而不等式的解集都是相间出现的，所以原不等式的解集为。 两种方法第一种解法简便多了。举这个例子更好地说明这种解法的过程。 2．有两个不等号的不等式 当不等式中含有两个不等号时，我们又要如何应用零点呢？ 例2 解不等式。 解法一：原不等式等价于， ∴或 ∴或 ∴或。 解法二： （1）求零点 由2及8解出x =－1, ,,。 （2）列区间 它的取值区间为（－∞，），（，）， （，－1），（－1，1），（1，＋∞）。 （3）利用特殊值 将x=0代入不等式，258,所以x=0为它的一个值。 （4）得出解集 而x=0在区间（－1，1）里，而区间相间出现，所 以不等式的解集为（，）及（－1，1）。 3．转化为等式时有二重根的不等式 那当不等式化为等式时求出来有重根要怎么办呢？ 首先我们要先求出不等式相应等式的根，当出现重根时，比如有且仅有为等式的二重根时，除了跟上面不等式两道例题一样取出区间外，还要有区间(或者),因为区间无解，所以无论是不是不等式的解，它最后都不是不等式的解。若不等式的符号为“≤”时，则要写,即将看成一个区间。 例3 解不等式。 解一：（1）求零点 我们先解出的解，得到。 再解出的解，得到。 （2）列区间 ∵不等式的符号为“” ∴区间为, , , ,。 （3）利用特殊值 我们取代入原不等式，不等式不成立，所以不为原不等式的解，则区间不是原不等式的解。 （4）得出解集 因为区间不为原不等式的解，而不等式的解集都是相间出现的，所以原不等式的解为和,因为区间无解， 所以原不等式的解集为。 解二：原不等式可化为方程组。 ∴， ∴或 ∴原不等式的解集为 。 （二）