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混沌动力学的基础知识 混沌动力学的内容十分丰富，实际应用十分广泛，在这里我们仅能做一些简单 的和我们后面将要讨论到的有关的混沌动力学的基本知识，包括相空间、维数和 李雅谱诺夫指数的概念。 1 动力系统、相空间（状态空间） 一个动力系统指的是一族变量，它们随时间以可以预测的方式变化（即系统是确 定的）。这儿的时间可以是连续的，也可以是离散的。在动力系统理论中，系统 的基本情况称为状态。描述状态随时间而变化的规律，称为动态特性。这个变化 的过程可用相空间（状态空间）形象的表示出来。 例如，连续时间系统中的例子就是一个N 维的，自发的，普通微分方程组： 写成矢量形式为： 。这是一个动力系统，是因为若是给定了初 始值x(0) ，我们原则上可以解出x(t) (t0) 。图（2-1）显示了在三维空间中，系 （） 统状态随时间经历的状态，图中的（x(1),x(2),x 3 ）空间即为相空间。 在离散系统中的例子则是映射，写成矢量形式即： 。 有N 个元素， 。一旦给定了 ，我们就能通过 得到 n=1 时的系统状态。有了 ，我们就能通过 得到n=2 时系统的状态。 如此类推，我们就得到了离散时间系统的轨迹： „„ 相空间法，是现代科学研究中的有用工具，它提供了一种将数字转化为图 形的方法。在相空间中，动力系统在某一瞬间的全部性态都集中于一点上，即该 瞬间的动力系统。而系统的演变情况，则可通过动点来描述。动力系统随着时间 的流逝，这些点将在相空间中描绘出其自身的轨迹。 动力系统随时间的变化，当发生在连续的时间系统中时，我们称它为 “流”；当发生在离散的时间系统中时，则称之为“映射”。 2 吸引子及其分类 吸引子（attractor ）位于状态空间中，是一种用以刻划状态空间中的长期行 为的几何形式，也是系统行为的最终归宿。 （以下的分类参见：胡瑞安、胡纪阳、徐树公著，《分形的计算机图像及其应 用》，中国铁道出版社，1995 年） 第一类吸引子是状态空间中的不动点，是最简单的一类吸引子。在状态空间中随 着时间的流逝，系统的轨迹趋于一个固定的点上，这个固定的不动点就叫做不动 点。 第二类吸引子是状态空间中的闭环，或极限环，这是复杂性居第二位的吸引子， 它描述的是稳定振荡，例如，钟摆的周期运动，和心脏的跳动，是刻划周期性行 为的吸引子。 第三类吸引子为环面吸引子，它描述的是复合振荡的拟周期行为，它的轨道在状 态空间中的一个环面上绕行。 以上这三类吸引子，统称为非混沌吸引子，它们的行为是可以预测的。 第四类吸引子是奇异吸引子，又称混沌吸引子。Lorenz 吸引子就是它的第一个观 察到的实例。它具有复杂的拉伸、折迭与伸缩的结构，可以使指数型发散保持在 有限的空间中，就好象厨师揉面团做拉面一样，其过程如下：首先是“拉 伸”，面团的临近部分按指数规律拉长，数学上称之为发散。然后，再将拉伸 长的面团“折迭”回来。随后，又是拉伸、折迭，不断的重复这一操作，反复进 行。由此可知，混沌吸引子应是一种分维形态的结构，它是不可能用欧几里德几 何学来描述的。 吸引子的产生，可以解释为：耗散系统在其运动与演化的过程中，相体积的不断 收缩因而产生吸引子。收缩是由于阻尼等耗散项的存在所至。吸引子的维数一般 比原始相空间低，这是由于耗散过程中，消耗了大量小尺度的运动模式，因而使 得确定性系统中长时间行为的有效自由度减少。如果系统最终剩下一个周期运 动，则称该系统具有极限环吸引子。二维以上的的吸引子，表现为相空间相应维 数的环面。 3 混沌吸引子 混沌吸引子又称奇异吸引子，它是混沌中特有的。混沌吸引子在形态、结构和 发生机理方面，均与非混沌吸引子不同。 混沌吸引子是整体稳定性与局部不稳定性共同作用的结果。耗散是整体的稳定 因素，它使运动轨道稳定的收缩到吸引子上。但如果动力系统在其相体积收缩的 同时，它在某些方向上的运动又是不稳定的，例如，在这些方向上存在着指数性 的发散，那么，它的最终状态将会是怎样的呢？显然，必须在有限区域，即