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第五章 代数系统 5-1 代数系统的引入 5.1.1 设集合 1，2 ，3，…，10 ，问下面定义的映射*关于集合是否封闭？ a ） x*y max x,y ; b ） x*y min x,y ; c ） x*y GCD x,y ; d ） x*y LCM x,y ; e ） x*y 素数 p 的个数，其中x≤p≤y 。 解：a ）封闭。b ）封闭。c ）封闭。d ）不封闭。e ）不封闭。 5.1.2 在下表所列出的集合和映射中，请根据映射是否在相应集合上封闭，在相应位置上填 写“是”或“否”，I 表示整数集，N 表示自然数集合。 是否封闭 运算 集合 + - x ∣x-y ∣ max min ∣x ∣ I N x ∣0≤x≤10 x ∣-10≤x≤10 2x ∣x ∈I 解： 是否封闭 运算 集合 + - x ∣x-y ∣ max min ∣x ∣ I 是 是 是 是 是 是 是 N 是 否 是 是 是 是 是 x ∣0≤x≤10 否 否 否 是 是 是 是 x ∣-10≤x≤10 否 否 否 否 是 是 是 2x ∣x ∈I 是 是 是 是 是 是 是 5.1.3 设B 0 ，a，b ，1 ，S a ，1 , S 0 ，1 , S a ，b ,二元运算 ⊕和*定义如下表： 1 2 3 ⊕ 0 a b 1 * 0 a b 1 0 0 a b 1 0 0 0 0 0 a a a 1 1 a 0 a 0 a b b 1 b 1 b 0 0 b b 1 1 1 1 1 1 0 a b 1 试问（S ，*，，⊕）是代数系统吗？是（B ，*，⊕，1，0 ）的子代数系统吗？（S ，*，，⊕， 1 2 1，0 ）是（B ，*，⊕，1，0 ）的子代数系统吗？（S3 ，*，，⊕）是代数系统吗 ？ 解： ⊕ a 1 * a 1 a a 1 a a a 1 1 1 1 a 1 因此（S ，*，，⊕）是代数系统。 1 它不是（B ，*，⊕，1，0 ）的子代数系统。因为S1中缺少0 。 （S2 ，*，，⊕，1，0 ）是（B ，*，⊕，1，0 ）的子代数系统。 ⊕ a b * a b a a 1 a a 0 b 1 b b 0 b 因为⊕和*在 a，b 上不封闭，所以（S ，*，，⊕）不是代数系统。 3 5-2 运算及其性质 5.2.1 对于实数集合 R ，下表所列的二元运算是否具有左边一列中那些性质，请在相应位置 上填写“是”或“否” 。 + - * max min ∣x-y ∣ 结合律 交换律 有单位元 有零元 解： + - * max min ∣x-y ∣ 结合律 是 否 是 是 是 否 交换律 是 否 是 是 是 是 有单位元 是 否 是 否 否 否 有零元 否 否 是 否 否 否 5.2.2 设代数系统（ a,b,c ，*）中，*是 a,b,c 上二元运算，下面运算表中分别讨论交换性， 等幂性，问有否单位元？若有，问每个元素有否逆元？有否零元？ a ） b ） c ） d ） * a b c * a b c * a b c * a b c a a b c a a b c a a b c a a b c b b c a b b a c b a b c b b b c c c a b c c c c c a b c c c c b 解：a ）可交换，不等幂，a 为单位元，a 的逆元是a，b 和 c 互为逆元。b 可交换，不等幂， a 为单位元，a 和 b 都以自身为逆元，c 是零元。c ）不可交换，等幂，c 是右零元，左单位 元。d ）可交换，不等幂，a 以自身为逆元，b 和 c 没有逆元。 5.2.3 定义正整数集I b +上两个二元运算为：a*b a ，a△b a×b， a ，b ∈I+ 。证明*对△是不可 分配的；△对*也不可分配。 证：对于I+ 中任意a,b,c 。 a* （b△c ） a* （b×c ） ab×c 。 （a*b ）△ （a*c ） ab c b