化繁为简化难为易——巧解数列中的一类存在性问题.pdfVIP

变题誊 设 ，，户∈N ， ， 项 ，a，n ，使数列 a ，n，n 成等差数列? 1 如果存在 ，求 出这三项 ；如果不存在 ，说 明 n 一 ， 问：数列 {n)中是否存在三项 。， 理 由． a ，。，使数列 n ，a，口 成等差数列?如果 解析 假设存在三项 。，a，a，使数 存在 ，求出这三项 ；如果不存在 ，说明理 由． 列 口 ，n ，＆ 成等差数列 ，可得 2a一日4-n 解析 假设存在三项n，n，a，使数 即 2 + 2 (一1)”===2 + (一1) +2p4- 列 口，口，np成等差数列 ，可得 2a一n + (一 1) (1)， n，即2(÷)”一(1)+(÷)c， 因为 ≥ +1 2≥2 ，由等 式 (1)可 推 出 2 (一1)≥2 4-(一1) 4- 因为m ≤一1(÷)≥ (一 1) (2)， (一)当 ≥3时 ，2 (一1)≤2，2+ (÷)一一3(÷)2(÷)， (一1)4-(一1)≥6可知 (2)式不成立 ； 又因为(÷)o(÷)+() (二) 当 一2时，等式 (2)可化 为 2(一1)≥5+ (一1) 也不可能成立； 2()，(1)式不成立，所以不存在三项n， (三) 当 一 1时，等 式 (2)可化 为 2(一1)≥1+ (一1) (3)， n ，n 成等差数列． ① 当P为偶数时 ，要使等式 (3)成立 ， 变题2 设m，，P∈N ，n ， 必须为偶数 ，此时 由等式 (1)可得 2p一2 。一2+ ，问：数列{。)中是否存在三项 一 +1，这与 ，均为偶数相矛盾 ； 。 ，n，n ，使数列 n ，a，ap成等差数列?如 ② 当 为奇数 时，要使等式 (3)成立， 果存 在 ，求 出这 三项 ；如 果不存 在 ，说 明 必须为偶数，此时由等式(1)可得 2p一2 +2 理 由． (4) p +l 户≥ -4-2 2≥2X2 进 解析 假设存在三项n，口，。，使数 一 步可推出 2p一2 ≥2 2，等式 (4)不 成立． 列 n ，口，口 成等差数列 ，可得 2a一n + 综上所述不存在三项 n ，a，n 成等差 ( )一( )+( )㈩，数列． 因为数列{ }单调递减，又因为m 例题 2 设 ， ，户EN*，m p，口 ≤一1可推出 ≥南 一 一 (詈)，问：数列{a)中是否存在三项a， 口，n ，使数列 n ，n，n 成等差数列?如果 两3 ， 而 一 一 薷 存在 ，求 出这三项；如果不存在 ，说明理由． 9 1 0 ，因为 0可推出 ： 解析 假设存在三项a，n，n，使数 列 口，a，口p成等差数列 ，可得 2a一日4-口p ( )+(