初二整式方程期末复习.docVIP

第二十章 代数方程 一、整式方程 知识与方法： 1字母系数 在关于x的方程中，其中a、b、c是表示已知数的字母，我们把字母a,b,c叫做字母系数。而这个方程就是含有字母系数的方程。 例1 解关于x的方程：（1）ax=x+a; (2) 说明：（1）对于含字母系数的一元一次方程，在“系数化为1”这步之前一般应分情况讨论；对于含字母系数的一元二次方程，在“两边开平方”这步前一般也要分情况讨论 （2）对于解含字母系数的一元整式方程，用含字母系数的式子去乘、除方程的两边时，这个式子的值不能为零。 （3）在实数范围内对含字母系数的式子开平方时，由于负数没有平方根，因此，根号下面的式子不能小于零 2一元整式方程 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程 例2判断下列哪些方程是一元整式方程： 说明：整式方程并不意味着方程中不能含有根号，分母等，关键是在于含有未知数的项是否都是整式 3 一元n次方程 一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n（n是正整数），这个方程就叫做一元n次方程。 其中次数大于2的方程统称为一元高次方程。 例3 关于x的方程是一元几次方程？ 4二项方程 如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程 关于x的一元n次二项方程的一般形式为（，，n是正整数） 例4解方程： 说明：二项方程可变形为：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n为偶数时,如果ab0,那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab0,那么方程没有实数根。 5 双二次方程 一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程 关于x的双二次方程的一般形式为 例5 解方程： 说明：解双二次方程的一般步骤：（1）换元；（2）解一元二次方程；（3）回代 解双二次方程时注意理解“换元”的思想方法，体会“降次”的解题策略 通过换元，把双二次方程转化为关于t的一元二次方程。 求出t的值后，不要忘记回代，继续求出未知数x的值 拓展与提高： 1用换元法巧解高次方程 对于一个较复杂的方程，如果能根据方程的特征，把其中某些部分看做一个整体，用换元法来求解，有时能取得意想不到的效果 例6解下列方程：（1） （2） 说明：本题（*）方程左边的展开是利用了公式变形：而得到的，也可以直接利用完全平方公式把（*）方程左边展开，但比较麻烦。 本例在考虑换元时，设=y，即x-1=y。这种换元法叫做“平均值换元法”。如果设x+2=y也可，但迭代换后计算会比较麻烦。 想一想 把原方程等号左边第一、四个因式结合起来，第二、三个因式结合起来的目的是什么？ 想一想 对于方程（***）还可令或吗？ 换元未必一定要把含有未知数的项都用其他字母代替，如本例中，经换元后，方程中同时含有字母y和x，此时可把原来的未知数x看作是已知数。 练习：解方程 二、可化为一元二次方程的分式方程 知识与方法 1分式方程 如果方程中只含有分式和整式，且分母中含有未知数，那么这个方程叫做分式方程。 例1 判断下列方程中哪些是分式方程？ 说明：在判断一个方程是否是分式方程时，一般不需要对方程进行整理，直接根据给出的方程形式进行判断 想一想：方程与方程x(x+1)=0有何不同？ 2 解分式方程的一般步骤 （1）在方程的两边同时乘以方程中各分式分母的最简分母，将分式方程化成整式方程； （2）求解整式方程； （3）验根：判断所求得的整式方程的根是不是分式方程的根（即代入最简公分母中看最简公分母的值是否为零） 例2解方程： 想一想：分式方程求解最后为什么要验根呢？ 说明：解分式方程的基本思路是化分式方程为整式方程，化分式方程为整式方程主要通过去分母的方法实现。 求解分式方程的过程中，在方程两边同时乘以方程中各分母的最简公分母时可能会 产生增根，解分式方程的最后一定要进行验根 3 分式方程的根与增根 把求得的整式方程的根代入最简公分母中，判断它的值是否为零。使最简公分母的值不为零的根是原方程的根；使最简公分母的值为零的根是增根。 x=1是下列方程的增根吗？ 想一想：为什么在验根时，只要把整式方程的根代入最简公分母中就可以了？ 说明：分式方程的曾根应该是分式方程去分母后的整式方程的根，但不是原分式方程的根。 如果某个未知数的值不是分式方程去分母后的整式方程的根，那么该未知数的值也不是原分式方程的根，也不能算做原分式方程的增根。 解分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整式进行换元，换元时要注意分子、分母互换的两个分式可以用一个新元和它的倒数来表示。 4换元法在解分式方程中的运用