线性代数 教学课件 作者 侯亚君第4章 向量组的线性相关性 4.1 向量组及其线性组合.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * 4.1 向量组及其线性组合 首页 上页 下页 返回 结束 向量是数学中最基本的概念之一， 数研究的主要对象， 它也是线性代 它的理论和方法 已经渗透到自然 科学、 工程技术、 经济管理等许多领域． 利用向量理 论 我们还可以进一步加深对矩阵和线性方程组内容的 理解． 首页 上页 下页 返回 结束 定义4.1 由 个数 所组成的有序数 组 维向量， 其中 第 个数 称为这个向量的 第 个分量 分量全为实数的向量称为实向量， 向量称为复向量． 分量为复数的 在这里只讨论实向量． 由 所组成的 维向量 可以写成一行， 即 也可以写成一列， 即 称为 按第2章矩阵的定义， 它们分别是行矩阵和列矩 也称为行向量和列向量， 都可按矩阵的运算法则进行运算． 且规定行向量和列向量 阵， 因此， 形式表示的 用两种不同 以后看作是两个不同的向量． （注：仅按向量定义，它们表示同一个向量）. 在这里， 列向量用小写字母 等表示， 量用转置符号 等表示． 行 维向量 首页 上页 下页 返回 结束 注：这里所讨论的向量，在没有指明是行向量还 是列向量时， 则，行向量 都指列向量． 由若干个同维数的列向量 的集合称为向量组． 或同维数的行向量组成 例如，若列向量 首页 上页 下页 返回 结束 向量组可能含有有限个向量， 个向量． 例如， 一个 矩阵的全体列向量 组成一个含 个 维列向量的向量组， 它的全体行向量 个含 组成一 个 维行向量的向量组． 行向量组都是含有有限个向量的向量组． 矩阵的列向量组和 反之， 含有有限个向量的向量组 一个 也可以构成一个矩阵． 例如， 含 个 维列向量的向量组 构成矩阵 也可能含有无限多 首页 上页 下页 返回 结束 因此，含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一 对应. 齐次线性方程组 当 时， 全体解向量 它的 维列向量的向量 下面，先讨论含有限个向量的向量组， 所得到的一些结论 然后再把 组． 推广到含无限多个向量的向量组上． 组成一个含有无限多个 首页 上页 下页 返回 结束 将系数矩阵 按列分块， 未知数向量 按行分块， 方程组可表示成如下形式： 则 即 设 元非齐次线性方程组 首页 上页 下页 返回 结束 这个等式的左端 的线性运 使 算， 称为向量组 的线性组合， 称为这个线性组合的系数． 等式的右端 量组的线性组合， 等于这个向 称向量 能由向量组 线性表示． 若这个方程组有解， 即存在一组实数 是向量组 首页 上页 下页 返回 结束 一般地，有 定义4.2 设向量组 一组实数 对于任意 称表达式 为向量组 的一个线性组合， 性组合的系数． 称为这个线 对于向量 如果存在一组实数 使 首页 上页 下页 返回 结束 则称向量 能由向量组 线性表示． 向量 能由向量组 线性表示， 等价于非齐次线 性方程组 有解． 因此， 定理4.1 向量 能由向量组 表示的充分必要条件是 线性 矩阵 的秩 等于矩阵 的秩． 可得 由定理3.5 首页 上页 下页 返回 结束 例4.1 设向量组 向量 和 证明向量 能由向量组 线性表示， 求出表示式． 并 解 设矩阵 矩阵 首页 上页 下页 返回 结束 先将矩阵 B 化成行阶梯形矩阵 首页 上页 下页 返回 结束 再将 的行阶梯形化成行最简形： 线性方程组 向量 能由向量组 线性表示． 的同解方程组： 首页 上页 下页 返回 结束 表示式 首页 上页 下页 返回 结束 定义4.3 设向量组 和向量组 如果 组中的每个向量都能由向量组 线性表