一道组合习题的解法研究与推广.docVIP

组合数学及其错误解法分析 李振涛 王淑玲 摘要：简要介绍了组合数学的概念和发展历史，应用现状及应用前景，分析了分类计数原理与分步计数原理，详细讨论了一道组合习题应用多种方法解答时的错误原因，并给出了正确的解法，最后总结出了组合问题常用的解题思想与方法。 主题词：组合数学，分类计数原理，分步计数原理，间接方法，直接方法 一 组合数学简介 组合数学[1] (Combinatorics)，又称组合分析(Combinatorial Analysis)，它是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科。组合数学是一门古老而又新兴的数学分支，我国古人早在《河倒》，《洛书》中已对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。近代随着计算机的出现。组合数学这门学科得到了迅猛的发展，成为了一个重要的数学分支。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可分为两大类： 一类是研究连续对象的，如分析、方程等；另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如在计算机科学，编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。另一方面，组合学问题在生活中也随处可见。例如，在玩扑克牌游戏中，计算满堂红牌的手数，以确定出现一手满堂红牌的几率等。可以说，组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏中，组合数学的很多原理都有其实际应用的背景。 如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。当代数学发展最快的领域之一就是组合数学，它之所以能够快速发展，一个主要原因是其在计算机科学领域的应用。可以这样说，组合数学的发展同计算机的发展是齐头并进的。一方面，高速计算机的出现使得各领域中实际组合问题的求解成为可能，而这些问题在不久前还是无法解决的，这无疑增加了研究组合问题求解方法的重要性。另一方面，计算机科学的发展本身又带来了大量具有挑战性的组合问题。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象恰恰就是组合数学的核心内容。因此，很难把组合数学和计算机科学割裂开来。在美国有一种说法，将来一个国家的经济实力可以直接从软件产业反映出来。我国在软件研发水平上还比较落后，究其根本原因除了传统文化、管理水平、教育水平等人文因素以外，一个最根本的原因就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难以成为软件强国。美国的软件产业之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才[2]。 教学工作是一项常讲常新、永无止境的富有挑战性的工作。新课程标准将组合数学中的两个基本原理，排列与组合以及二项式定理放在选修课，作为理科高考的必考内容，充分考虑到了以后学生的发展要求和在大学继续学习的基础作用以及社会的需求。结合在组合数学方面的研究与教学经验，本文着重讨论解决组合数学时常见的错误及其原因，以及避免出错的方法。 二 两个基本概念与基本原理 （1）分类 复杂事件的排列与组合问题，需要对A在一个标准下分类讨论，把分解为类简单事件，分类的原则是：，，。在这样的原则下对事件分类，能够确保分类的不重不漏。 把分为的同时，对应的办法也随之被分为类办法，且，，。其结果用分类计数原理计算。 （2）分步 事件完成分类以后，对每一类要进行分步，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，这样就可以确保对每一类事件的分步不重不漏，时间的分步对应方法的分步。如果分为步，则对应的有被分为中方法，其结果用分步计数原理计算。 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，它们是排列、组合中的基本概念，是推导排列数、组合数的基础。这两个原理体现了解决较复杂的问题时将问题分解的两种常用方法：划分为若干独立的“类”，或分解为相互关联的“步”，它们不仅是知识，更是重要的思想方法与思维模式。排列与组合主要研究从一些不同的元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求其共有多少种方法的问题。区别排列问题与组合问题关键要看问题是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题。排列数公式、组合数公式能帮助我们迅速有效地解决相关的实际问题。运用公式时，既要明确公式的适应情境及来龙去脉，又要审清题意、重视问题的“过程”，制定合理的解题方案，使其在解决问题的活动中达到运用自如的境界。 三 典型例题分析 例 已知矩阵， 从的9个元素中任取3个元素，所取地元素至少有两个在同行或同列的组合有多少种？ 解法1： 从题目条件可知应当分成两大类来解决，第1大类是两个元素在同行或者同列；第2大类是3个元素在同行或者同列。首先解决第