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利用多媒体对课本一道几何题的探究分析 黄麓镇中心学校 许大庆 二○○五年四月利用多媒体对课本一道几何题的探究分析 多媒体教学已逐步走向课堂，是时代发展的潮流。本人就初三课本上一道几何题利用多媒体进行动态分析，从而产生一个个新图形，通过图形的演变过程，了解它们之间的区别与联系，掌握特殊与一般的规律。 例题：如图，⊙O1、⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于D，经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于F。求证：CE∥DF。 思路探究：欲证两直线平行，最基本的可以从同位角（或内错角）相等，两直线平行，也可以用同旁内角互补，两直线平行去思考。从本图的结构看，内错角、同位角暂不明显，在否定这条思路的情况下，从同旁内角互补，两直线平行入手，怎样得到∠CEF+∠DEF＝？联想在图上的角，什么情况下两个角的和为180°（圆内接四边形内对角互补），在这个前提下连接AB构造圆内接四边形，后面的分析让同学们去完成。 同学甲：∠DFB+∠DAB＝180°。 同学乙：∠DAB＝∠CEB。因为∠DAB是圆内接四边形的一个外角，所以∠DFB+∠DAB＝180°，CE∥DF。 教师提问：你们在解决这个问题的过程中，关键的一步是什么？ 同学甲：作公共弦，构造圆内接四边形，把两圆中的圆周角转到了同一个圆，公共弦起到了媒介的作用。 变式，把CD、EF或两圆的位置关系作适当的变动，会出现多种不同的图形，各种图形中CE和DF有什么关系呢？ 下面我们利用多媒体用运动的观点，研究图形的变化，用分类的方法进行归纳。 一、在两圆相交的情况下，运动割线。 在例题图形的基础上，延长两条割线，这两条割线的延长线的交点在圆外。如图2。 如果我们保持EF不动，把割线CD绕点A旋转，使CD与EF的交点分别在圆上（如图3）和圆内（如图4）。（动态演示） 先研究图4，你现在能否证明CE∥DF。你的思路是什么？ 思路探究：要证明CE∥DF，这里有没有同位角或内错角关系？（有）在内错角关系的情况下，先找一对内错角∠E和∠F，而∠E和∠F分别是⊙O1和⊙O2上的圆周角，直接证明是无法进行的，能不能寻找媒介，找到它们的等量关系。（这时有学生提出连接AB），作出公共弦，找出与∠E相等的角，与∠F相等的角，最终得到∠E＝∠F，CE∥DF。 请同学们比较一下图４中的证题思路与图１中的证题思路有什么相同点和不同点。 相同点：①公共弦起着媒介作用，把两圆上的角转化到一个圆中。②CE∥DF。 不同点：前者是用同旁内角互补、两直线平行，而后者由于图形的变化，存在着内错角，通过内错角相等，两直线平行来证明。 再看图３，这是两割线的交点在圆上，这时的D、F两点重合，不存在线段DF。这时我们过D、F的重合点作⊙O2的切线，这条切线MN与线段EC又存在着什么样的位置关系？如图５。 大家都回答是平行的。 提问：你能证明它们的平行关系吗？ 逆向思维：MN∥CD∠1＝∠C，∠C是⊙O2上的圆周角，∠1是⊙O2上的弦切角，怎样找出∠1与∠C相等的理由，通过公共弦，寻找它们之间的关系，所以作公共弦AB，这时∠２为⊙O2的圆周角，且∠２＝∠1，又∵∠２＝∠C，∴∠1＝∠C。你比较一下它与前面两个问题的证明有什么相同点与不同点。 相同点：①连接AB，得到公共弦，寻找角的等量关系。 ②CE∥MN（DF）。 不同点：虽利用内错角相等，两直线平行，在这个图中的角既有圆内角，又有弦切角，而不是单纯的圆周角。 二、两圆相交，一条直线CD是切线，一条直线EF是割线，动态演示割线EF不变，继续将割线CD绕点A旋转，当C与A重合时，如图６，这时直线EC和DF在什么位置上，又有什么关系呢？ 无疑，学生的回答是平行的。你能说出理由吗？它和前面的证明有什么相同点和不同点？ 分析思路略。 相同点：①公共弦起媒介作用。②DF∥EC。 不同点：在本图中，既用到同圆中的圆周角又用到了同圆中的圆周角和弦切角的等量关系。随着位置的变化，角也产生了变化。强调由运动带来的变化。 三、两圆相交，两条直线CD、EF都是切线时。 在图６的基础上，切线AD不动，动态演示线段EF，使B、F两点重合，得到图７，这时的EC和DF平行吗？若平行，你能说出理由吗？ 受前面思维的影响，同学们都提出了连接公共弦AB，最佳方法证明∠EAB＝∠DBA，让学生思考片刻，聚焦在△ABE和△ABD，找相等的角。∠1＝∠E，∠２＝∠D，所以∠EAB＝∠DBA。再次让学生比较这里的证明与前面的证明方法的相同点和不同点，以拓展学生的思维空间。 相同点：①公共弦。②DF∥EC。 不同点：①两个弦切角和两个圆周角对应相等，通过三角形内角和等于180°，得第三组角对应相同，再与原始图相比较，研究角不是在四边形，而是在三角形，其根源是由于原来的割线（与圆