复杂系统里的一些基本数学工具.pptVIP

于是我们有： 主方程随之变为： 把上式右边第一项在 附近作泰勒展开 并重新标定时间f(Ω)t= Ωτ后，主方程最终变为： 其中 在主方程里保留到 ，可得： 要满足上式，只须取 这里 在主方程里保留到Ω的零级项，可得关于概率密度 的Fokker-Planck方程： 由上式即可得扰动x的平均值和矩等的运动方程。对平稳过程，上述方程右端的系数与时间无关。如在τ=0有 ，并定义 ， 及 和 ，上述Fokker-Planck方程可变为一个广义扩散方程： 主方程展开到Ω的 级项时，W的泰勒展开的第二项ω1将开始有贡献。 2.4 非线性生灭过程---马尔萨斯方程 对线性生灭过程： 对非线性生灭过程：我们假设社会成员间的竞争使得死亡率加大，因此死亡率中还有一个正比于其它个体密度的项 贡献，这里Ω是系统的大小。这样转移率变为： 由于在时间τ内不转变的概率为 ，我们发现主方程可写为： 在t时刻个体平均数的方程为： 这个方程中一级矩的演化依赖于二级矩。为此把n在其平均值附近展开： 并保留到Ω级的项，我们发现： 此方程的解为 特点： 即当转移率改变时，存在一个从一个状态到另一状态的“相变”！ * * 高等统计物理 陈志 参考书： 1.量子统计物理学，杨展如。 2. 统计物理现代教程 （上册），L.E. Reichl(雷克)。 Email：chenzyn@ Web：/~chenzyn/Modern_statistical_physics.html 概率论基础和主方程 热力学和统计物理： 热力学：研究由大量微观粒子组成的宏观系统，给出物理量平均值之间的相互关系； 统计物理：由大量微观粒子（自由度很大的系统）的集体表现来描述宏观物理量的行为，宏观量是相应微观物理量的统计平均值。 参考雷克的统计物理现代教程第五-六章。 讨论随机理论用于非线性化学系统涨落现象的动力学研究。 随机理论对统计物理在其它领域的应用有很重要的价值。 第一章 基本概率理论 随机事件：在一定条件下，如果一个事件可能发生也可能不发生，这事件称为随机事件。 随机事件的概率（发生可能性的大小）：当观测次数N趋于无穷时，某一事件A发生的次数 与总观测次数的比值将趋于稳定的极限值—概率P(A): 1.1 概率 互斥事件概率的加法原理： 互斥事件：在一次观测中不可能同时发生的事件。 加法原理：对两互斥事件A和B，它们中任意一个出现的概率为： 完备性：全部互斥事件出现的概率为1： . 独立概率事件的乘法原理： 独立事件：彼此没有任何关联的事件，即一事件的发生与否与别的事件的发生与否毫不相关。 乘法原理：两独立事件同时或依次发生的概率为 。 一般情形：集合论的描述 事件A或事件B或二者同时出现的概率 : 互斥事件： . 若事件A1，A2,…, Am是互斥和完备的，则 事件A和事件B二者同时出现的概率为 。 当且仅当 时，事件A和B是独立的。 阴影区为A和B的并 阴影区为A和B的交 A和B互相排斥，没有重叠 条件概率P(B|A) 条件概率P(B|A)是在事件B已出现，而又出现事件A的概率。 我们有： 由 我们有(Bayes’ theorem)： 若A和B独立，则P(B|A)=P(A). 1.2 随机变量 1.3 特征函数 特征函数 : 概率密度函数