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工程数学第11讲 4 向量空间与线性变换 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 Rn中的n个单位向量 e1=[1,0,0,...,0] e2=[0,1,0,...,0] ... en=[0,0,0,...,1]是线性无关的一个n阶实矩阵A=[aij]n?n, 如果|A|?0, 则A的n个行向量和n个列向量也都是线性无关的. 此外, Rn中任何n+1个向量都是线性相关的, 因此Rn中任一向量a都可用Rn中n个线性无关的向量来表示, 且表示法唯一. 由此给出基和坐标的概念. 定义1 设有序向量组B={b1,b2,...,bn}?Rn, 如果B线性无关, 则任给a?Rn有 a=a1b1+a2b2+...+anbn, (4.1)就称B是Rn的一组基(或基底), 有序数组(a1,a2,...,an)是向量a关于基B(或说在基B下)的坐标, 记作 aB=[a1,a2,...,an]或aB=[a1,a2,...,an]T,并称之为a的坐标向量.显然Rn的基不是唯一的, 而a关于给定的基的坐标是唯一的. 以后把n个单位向量组成的基称为自然基或标准基. 在三维几何向量空间R3中, i,j,k是一组标准基, R3中任一向量a可唯一地表示为 a=xi+yj+zk,这里有序数组(x,y,z)称为a在基i,j,k下的坐标. 如果a的起点在原点, (x,y,z)就是a的终点P的直角坐标. (以后常用R3中向量a与空间点P的一一对应关系, 对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释). 为讨论方便, 对向量及其坐标常采用列向量的形式[a1,a2,...,an]T, 则式子 a=a1b1+a2b2+...+anbn, (4.1)可表示为分块矩阵相乘的形式 设B1={a1,a2,...,an}和B2={h1,h2,...,hn}是Rn的两组基, 则h1,h2,...,hn也都能被B1唯一地表示 可用分块矩阵表示为 定义2 设Rn的两组基B1={a1,a2,...,an}和B2={h1,h2,...,hn}满足 矩阵A称为旧基B1到新基B2的过渡矩阵. 过渡矩阵一定是可逆的. 定理2 设向量a在两组基B1={a1,a2,...,an}和B2={h1,h2,...,hn}下的坐标向量分别为 x=[x1,x2,...,xn]T和y=[y1,y2,...,yn]T.基B1到基B2的过渡矩阵为A, 则 Ay=x 或 y=A-1x.证 由已知条件, 有(4.6)式成立, 且 a=x1a1+x2a2+...+xnan =y1h1+y2h2+...+ynhn, 故 由于a在基a1,a2,...,an下的坐标是唯一的, 所以 Ay=x 或 y=A-1x. 在R2中, 任意两个不在一条直线上(线性无关)的向量a1,a2都可以构成一斜角坐标系: 但是在实际应用中更希望获得直角的坐标系, 即希望a1,a2相互垂直, 且a1和a2的长度都是1. 4.2 Rn中向量的内积 标准正交基和正交矩阵 4.2.1 n维实向量的内积, 欧氏空间 前面讨论n维实向量空间中只定义了向量的线性运算, 它不能描述向量的度量性质, 如长度, 夹角等. 在三维几何空间中, 向量的内积(即点积或数量积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系. 由内积定义 可以得到 若a=a1i+a2j+a3k, 简记为a=(a1,a2,a3),b=b1i+b2j+b3k, 简记为b=(b1,b2,b3).由内积的运算性质和内积的定义, 可得 a ? b=a1b1+a2b2+a3b3.现在把三维向量的内积推广到n维实向量, 在n维实向量空间中定义内积运算, 进而定义向量的长度和夹角, 使n维实向量具有度量性. 定义1 设a=[a1,a2,...,an]T和b=[b1,b2,...,bn]T?Rn, 规定a与b的内积为: (a,b)=a1b1+a2b2+...+anbn当a,b为列向量时, (a,b)=aTb=bTa.根据定义, 容易证明内积具有以下的运算性质:(i) (a,b)=(b,a)(ii) (a+b,g)=(a,g)+(b,g) (4.8)(iii) (ka,b)=k(a,b);(iv) (a,a)?0, 等号成立当且仅当a=O其中a,b,g?Rn, k?R由于性质(iv), 可用内积定义n维向量a的长度. 定义2 向量a的长度 定理1 向量的内积满足 |(a,b)|?|a| |b|. (4.10) (4.10)式称为Couchy-Schwarz(柯西-许瓦兹)不等式. 证 当b=O时, (a,b)=0, |b|=0, (4.10)式显然成立.当b?O时, 作向量a+tb(t?R), 由性质(iv)得 (