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第六节 n重贝努利试验 设E是随机试验，如果在相同的条件下将试验E重复进行若干次，且各次试验的结果互不 影响，即每次试验结果发生的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则由这若干次试验构成的试验序列称为独立试验序列 独立试验序列 例1.设事件A是随机试验E的小概率事件，在每次试验中发生的概率为p,现将试验E在相同条件下重复进行n次，且这n次试验构成的随机试验序列是独立试验序列，求这n次试验中事件A至少发生一次的概率 解： 设Ai：第i次试验中A发生，i =1,2, …, n; B：n次试验中事件A至少发生一次，则 (逆事件的概率) (相互独立性) (对偶律) 此例说明：不能忽视小概率事件,小概率事件迟早要发生 前面第三节我们讲过小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上几乎是不可能发生的. 由此可见日常生活中“提高警惕, 防火防盗”的重要性.由于时间无限, 自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的、早晚的事，不用奇怪，不用惊慌.同样,人生中发生车祸、失恋、患绝症、炒股大亏损等都是正常现象, 大可不必怨天尤人. 设E是随机试验，在相同的条件下将试验E重复进行n次，若1）由这n次试验构成的试验序列是独立试验序列2）每次试验有且仅有两个结果：事件 和事件3）每次试验事件A 发生的概率都是常数 p,即 则称该试验序列为n重贝努利（Bernoulli）试验，简称为贝努利试验或贝努利概型 n重贝努利试验 n重贝努利（Bernoulli ）试验的例子 1.已知在指定时间内某十字路口的事故率为p，现在此时间段内对经过的n 辆机动车进行观察 每辆车是否经过这个十字路口是相互独立的，而且观察结果有且只有两种可能：出事故 、平安经过 所以这是一个贝努利试验 2.某射手每次射击命中目标的概率都是 p，现对同一目标独立射击 n 次，观察射击结果 所以这是一个贝努利试验 此射手独立射击n次，每次射击命中目标的概率都是p，所以这n次射击构成独立试验序列，每次射击有且仅有两个结果：射中 、未射中 n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率 定理 在n重贝努里试验中事件A发生的概率为P(A)=p (0p1),则事件A在 n 次试验中恰好发生k次的概率为： 证明： 其中 在指定的k 次中是 而在其余 n-k 次中为 ，例如若前k 次为 ，后n-k 次为 ，则 在n 次试验中，事件A在指定的k 次中发生，而在其余n-k次中不发生,可用样本点表示为: 事实上，在n 次试验中，这种“事件A在指定的k 次中发生，而在其余n-k 次中不发生”的指定方法共有 “事件A在n 次试验中恰好发生k 次”的概率恰是这 个概率之和，所以 对应于每一种指定方法，其概率皆为 例2.某篮球运动员进行投篮练习，设每次投篮的命中率为0.8，独立投篮5次，求 （1）恰好4次命中的概率； （2）至少4次命中的概率； （3）至多4次命中的概率. 解： 将每次投篮看作一次试验，则每次试验只有两种结果： “命中”、“不中”.因此，运动员独立投篮5次可看作贝努利试验：n=5，p=0.8