二重积分简单应用.pptVIP

一、立体的体积 二、曲面的面积 三、平面薄片的重心 四、平面薄片对质点的引力 五、小结 * 一、立体的体积 二、曲面的面积 三、平面薄片的重心 四、平面薄片对质点的引力 五、小结 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 例1 计算由曲面 及 xoy 面所围的立体 体积。 解 设立体在 第一卦限上 的体积为 V1。 由立体的对称性，所求立 体体积 V = 4V1 。 立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为 立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为 它的底为 于是， 例2 求两个圆柱面 所围 的立体在第一卦限部分的体积。 解 所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体， 它的曲顶为 它的底为 它的底为 它的曲顶为 于是，立体体积为 例3 求球体 被圆柱面 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。 解 显然，所求立体应在第一、 第四、第五、第八卦限。 而且，四个卦限部分的体积 是对称相等的。 因此，若设第一卦限部分的体 积为 V1 ，则所求立体的体积为 V1 可以看成是一个曲顶柱体， 它的曲顶为 它的底D 由半圆周 及 x 轴围成。 用极坐标系表示 于是， 所求立体体积 １．设曲面的方程为： 如图， --- 曲面 S 的面积元素 曲面面积公式为： ３．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： ２．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 解 设第一卦限部分的面积为 A1 ， 则由对称性，所求的面积为 极坐标系下表示： 当薄片是均匀的，重心称为形心. 由元素法 闭区域 D 的面积 解 薄片对 z 轴上单位质点的引力 G 为引力常数 * *