《数值分析》课件5_YQJ_Ch3特征值Q.pptVIP

物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上归结为求解矩阵的特征值问题。例如，振动问题（桥梁的振动、机械的振动、电磁振荡、地震引起的建筑物的振动等），物理学中某些临界值的确定以及物理学中的一些问题，这些实际问题归结为数学问题就是： 1、已知 A=(aij)m×n，要求代数方程φ(?)=det(? I-A)=0的根。 φ(?)= ? n+c1 ? n-1+…+cn=0 φ(?)有ｎ个零点． 2、设 ? 为 A 的特征值，要求相应的齐次方程(? I-A)x=0 的非零解，即求 Ax= ? x 的非零解，此非零解 x 称为 A 的对应于? 的特征向量。 3.1 幂法和反幂法 在一些工程、物理问题中，通常只需要我们求出矩阵的按模最大的特征值（称为A的主特征值）和相应的特征向量，对于这种特征值问题，应用幂法是合适的。 幂法是一种计算实矩阵的主特征值的一种迭代法。它最大的优点是方法简单，对稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度较慢。 3.1.1 幂法 设 A 是 n 阶方阵，其 n 个特征值按模从大到小排序为 例1 求下矩阵的最大特征值及所属特征向量. 误差为0.0001. 3.1.2 反幂法 设 A 是 n 阶方阵非奇异，其 n 个特征值按模从大到小排序为 例2 用反幂法求下矩阵的按模最小的特征值和相应的特征向量. 误差为0.005。 * * 第3章 矩阵特征值与特征向量的计算 注: (1)有些实际问题只需要求出按模最大的特征值和相应的特征向量，有的要求出全部的特征值和相应的特征向量。 对于不同的问题有不同的解法。 (2)关于计算A的特征值问题，当n=2，3时，可按行列式展开的方法求出φ(?)=0的根，但当n较大时，如果再按行列式方法求，首先求出φ(?)的系数，再求φ(?)的根，工作量就非常大，用这种方法求φ(?)的根是不切实际的，因此需要研究A的特征值及特征向量的数值解法。 (3)本章将介绍计算机上常用的两类方法，一类是幂法及反幂法（迭代法），另一类是正交相似变换的方法（变换法）。 复习定义: 若数 ? 与非零向量 x 满足 Ax = ?x 则称数 ? 是方阵 A 的特征值, x 是 A 的特征向量. 定理1: 若 ?i 是矩阵A的特征值，则有 (1) (2) 定理2: 若 A与B 相似，则A与B 有相同的特征值。 若x是B 的一个特征向量，则Px是A的一个特征向量。 P-1AP=B 定理3: （圆盘定理）设A为n 阶方阵，则A 的每一个特征值要属于下述某个圆盘之中： 证明: 设?是A的任一特征值，x为对应的特征向量， （?I-A）x=0 注：那个圆盘就是特征向量 x 中的分量按模最大的 下标 i 所对应的那个圆盘，这个圆盘是以复平面上 以aii为圆心，以 为半径。 例:设矩阵 试讨论A的特征值的分布。 解: 假设 A 有 n 个线性无关的特征向量 x1, x2, …, xn . 任意取定非零初始向量 u0 , 它可被特征向量表出: ?幂法原理: ………….. 建立迭代公式 ： 故当 k →∞时， uk → ?1k a1x1. 因此，uk 可看成是关于特征值 ?1 的近似特征向量。 因为, 乘幂法的基本思想： 任取一非零的初始向量 u0，由矩阵 A 构造一向量序列 称为迭代向量。 定义：这种由已知非零向量 u0 及矩阵 A 的乘幂 Ak 构造向量序列 {uk} 以计算 A 的主特征值及相应的特征向量的方法称为乘幂法。 讨论主特征值?1的计算: 用(uk)j表示向量uk的第 j 个分量，当k足够大时， 考虑到有时可能由于j 的不同，所得的?1 不同，故也可 用平均值 作为?1的近似值。 例 求下列矩阵的按模最大的特征值及相应的特征向量： 解：取初始向量 u0=(1,0)T，计算: 计算结果如下： (uk)2 (uk)1 k 0 1 0 0.20 0.25 1 0.08333 0.10250 2 0.017451 0.042291 0.014190 0.034389 4 3 (uk)2 (uk)1 k 0 1 0 0.20 0.25 1 0.08333 0.10250 2 0.017451 0.042291 0.014190 0.034389 4 3 故可取： 相应的特征向量： 因此，在实际计算时，每步先对向量 uk 进行 “规范化”计算。迭代格式改为 问题：此法有一严重缺点：由于　 　　　　　当 |?1| 1（或 | ?1 | 1时），{ uk }中不为零的分量将随 k