西北工业大学《概率论与数理统计》4-2 中心极限定理.pdf

第二节中心极限定理 第二节中心极限定理 一、问题的提出 回 二、中心极限定理 回 停 停 下 下 一、问题的提出 一、问题的提出 由上一节大数定律,我们得知满足一定条件 的随机变量序列的算数平均值依概率收敛, 但 我们无法得知其收敛的速度, 本节的中心极限 定理可以解决这个问题. 在实际中, 人们发现n 个相互独立同分布 的随机变量之和的分布近似于正态分布, 并且 n 越大,近似程度越好. 二、中心极限定理 二、中心极限定理 定理4.6 林德贝格-列维中心极限定理 设随机变量X , X ,…, X 相互独立, 服从同一分布, 1 2 n 且具有数学期望与方差 E(X 2 ) µ, D(X ) σ ≠0 (i=1, 2,…, n) i i 则随机变量 n − µ ∑X i n Y ∗ i 1 n nσ 的分布函数Fn(x)对于任意x 满足 2 t x 1 − ( ) { ∗ } 2 lim F x lim P Y ≤x e dt n→∞ n n→∞ n ∫−∞ 2π 注1° 当n →∞时, 随机变量Y ∗渐近服从标准 n ( ) ∗ ( ) 正态分布N 0,1 ,记为Y ~ AN 0,1 . n越大, n 近似程度越好. n 2° Y X ~ AN nµ ,nσ( 2 ) n ∑ i i 1 1 n ⎛ σ2 ⎞