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《高等数学》Ⅱ— Ⅰ课程教案 张谋 第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的 不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达 为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决 各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数 的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1 课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3 课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2 课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问 题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 四、本章教学内容的深化和拓宽： 指导学生用元素法解决其本专业的实际问题。 五、本章的思考题和习题： 第二节 279 页习题 6—2 2 ，（1）、（3 ）；3，4 ，5，11，12，19，25 ，28 。 第三节 287 页习题 6—3 1，3，4 ，5，11。 第六章 定积分的应用第 1 页 共 32 页 《高等数学》Ⅱ— Ⅰ课程教案 张谋 第六章 定积分的应用 在上一章，我们从几何学和物理学的问题出发，导出了定积分的概念和计算 方法，其目的就是用它来解决实际问题。定积分在实际问题中应用很广泛，本 章将主要介绍它在几何和物理上的应用。 几何上:求平面形的面积,平面曲线的弧长,旋转体的体积 ⎧ 定积分的应用⎨ 物理上:变力作功,水压力,引力 ⎩ 学习这一章，我们不仅要掌握推导出来的具体公式，如求面积、体积、弧长 等公式，更重要的是掌握用定积分去解决实际问题的思想方法——微元法。 第一节 定积分的微元法（元素法） 利用定积分来解决实际问题的基本思想方法是微元法（元素法），为了说明 这种方法，我们先回顾一下利用定积分求曲边梯形面积的问题。 以连续曲线 为曲边、区间 为底的曲边梯形的面积设 y f (x) ( f (x) 0) ≥ [ ,a]b b f x (dx) 为A ，把这个面积A 表示为定积分∫ 的步骤是： a （1）分割a ：用分点x x x x x 将区间 任意分成长 0 1 2 n n −1 [ ,a]b ( 1,2, Δx , )i n n [ x, ]x ，相应地把曲边梯形 度为 的 个子区间