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实验二：人口增长模型及其数量预测 一、实验目的及意义 学习由实际问题去建立数学模型的全过程； 训练综合应用数学模型 、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题； 应用 matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计 matlab 程序来求解其中的数学模型； 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力； 　　通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛 。 二、实验内容 数学建模的基本方法； 查阅资料理解 Malthus 人口指数增长模型和 Logistic 模型； Matlab 软件中曲线拟合函数的异常情况处理； 误差分析与模型检验。 三、实验步骤 分析理解 Malthus 人口指数增长模型和 Logistic 模型 ； 利用 Matlab 软件求解上述两个模型； 设计数据拟合方法； 编写 M 文件 , 保存文件并运行观察运行结果 ( 数值或图形 ) ，并进行误差分析； 利用至少两种模型预测人口数量； 分析、整理和总结，写出实验报告。 四、实验要求与任务 　　从 1790 — 1980 年间美国每隔 10 年的人口记录如表综 2.1 所示： 表综 2.1 年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口 ( × 10 6 ) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口 ( × 10 6 ) 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年 份 1930 1940 1950 1960 1970 1980 ? 人口 ( × 10 6 ) 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ? 　　用以上数据检验马尔萨斯 ( Malthus) 人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国 2010 年的人口数量。 　　提示 1 ： Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。记时刻 t 的人口为 x ( t ），（即 x ( t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为 x 0 ，于是得到如下微分方程： 　　提示 2 ：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设 人口的增长率为 x 的减函数，如设 r(x)=r(1-x/) ，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ， 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程： ? ? ? .