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圆锥曲线的一个新性质.doc
圆锥曲线的一个新性质 江西省赣县教师进修学校（341100) 马跃进 （mayuejin60@163.com） 广东省深圳市石岩公学高中部 （518108 ）康 宇 (logkang@163.com) 笔者最近通过探究发现，圆锥曲线的一个新性质.即 性质 如图1，已知直线l是圆锥曲线的焦点F对应准线，过l上一点P作曲线两条切线PA、PB，A、B为切点，过PF的中点D且平行于直线l的直线与PA、PB分别交于点M、N,记的面积分别为,则. 证明 当曲线为椭圆时，如图2，不妨设椭圆的标准方程为， 其中，则 直线PA的方程为 直线PB的方程为点 直线的方程为 将点P的坐标代入PA，PB的方程得 即弦AB所在直线为 所以，直线AB过椭圆的焦点. 由于均不为零， 在直线PA的方程中，命得 点M的坐标为 同理，点N的坐标为 由方程组消去x化简得 显然， 由韦达定理得 因为 即 同理 从而， PMQN为平行四边形. 得 设 仿上法可证，当曲线为双曲线时，亦有 若曲线为抛物线时,如图3，设抛物线的方程为， 则 切线PA为 切线PB为 直线即y轴. 依题意， 在上述切线方程中命x =0，得 将点P的坐标带入PA、PB的方程得 故直线AB方程为 所以AB过抛物线的焦点 由方程组消去x化简得. 由韦达定理得 PMQN为平行四边形. 得 设 至此，性质得证. 本文发表在《数学通讯》2011年第9期（教师版） 1 图1 图2 图3
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