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几何概型中的一个题目，两点思考 【题名】几何概型中的一个题目，两点思考 【关键词】古典概型 几何概型 概率单蹲教育部 普通高中数学课程标准(实验) 2003） 【正文】 数学课程标准中增加了概率统计等内容几何概型是普通高中数学课程标准(实验)课程框架中必修3模块第三章第三小节内容,是新增加内容之一课程标准将其定位为信息化的现代社会统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识,但在要求上是初步体会几何概型的意义,会进行简单的几何概率计算教学上的基本要求并不意味着课堂教学的简单化、机械化,恰恰相反,本节内容是极能体现新课程理念、将三维目标有机融合的重要载体,实现知识与技能、过程与方法及情感态度与价值观三位一体的课程功能几何概型与古典概型有联系又有区别几何概型与古典概型区别之处就是试验的可能结果不是有限个,它的特点是试验的基本事件数是无限多个,每一个基本事件发生的可能性是等同的,且在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关与古典概型一样，几何概型也具有非负性、规范性(必然事件概率为1，不可能事件概率为)和有限可加性如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例，这样的概率模型为几何概型D内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样。而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域d中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等，用这种方法处理随机试验，称为几何概型。 和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率。它也是一种等可能概型。古典概型中基本事件只有有限多个，几何概型中基本事件则有无限多个，但基本事件都具有等可能性，概率的取值范围都是[0,1]。如果把几何概型中的测度用计数度量，那么可以得到古典概型的概率公式。一般地，在几何区域D中随机地取一点，记“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率。所以，几何概型是古典概型的一个补充，更是一种推广。 在几何概型中，笔者遇到这样一个题目，有以下点滴思考。 题目： 如图1，在线段上任取一点，试求： ⑴为钝角三角形的概率； ⑵为锐角三角形的概率。 【分析】⑴要考虑为钝角三角形，应逐一考虑中各个角的情况，即分别在何种情况下为钝角，那么就应先找到临界状况，即分别在何种情况下为直角。 由已知条件我们可以排除为直角或钝角的可能性。因此，我们只要考虑为钝角的情况即可。 首先，我们看为直角的情况。显然，当且仅当时，，不妨记这点垂足为（见图2），由此我们可以看出，当点在线段上（点不计在内）时，为钝角。 其次，我们来看为直角的情况。这时，可能会提出疑问：“也许本身就是锐角呢？那不是不需要考虑了吗？”事实上，由已知条件我们可以看到如果为直角，那么应该等于4，而不是等于5，所以应该是个钝角，不妨记上一点为，使得＝4（见图3），显然。由此我们可以看出，当点在上（点不计在内）时，为钝角。 解：⑴设为钝角三角形为事件A, 答：为钝角三角形的概率为 。 【分析】⑵ 为锐角三角形的概率，即 “1－为钝角三角形的概率－为直角三角形的概率”。 为直角三角形，只有点C在点两种情况，即为两种情况，其概率均为0。 解：⑵设为锐角三角形为事件B， 答：为锐角三角形的概率为。 【思考1】第⑴问中，当确定了点在和上以后，从面积的角度计算：，结果也是正确的。不禁让我想到背景相似的问题：当等可能的角度不同时，其概率是不是一定一样呢？ 例如：①在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。 【分析】 点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D。当点M位于图中的线段故线段 解： 在AB上截取于是 答： 变式：在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°BC上任取一点M，求∠CAM30°的概率。 解： 又例如：②如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在内部任作一条射线CM，与线段AB交与点M，求AM小于AC的概率。 【分析】 射线CM在内是等可能分布的。 解：在AB上取 满足条件的概率为. 变式：在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°∠CAB内作射线AM，求∠CAM30°的概率。 解：. 由此可见，“背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的”。 【思考2】众所周知，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。但是，反之却未必成立，即由P（A）＝0不能推出A为不可能事件，由P（A）＝1也不能推出A为必然事件。当考虑的概率模型为古典概率模型时，概率为0的事件一定是不可能事件；当考虑的概率模型是几何概率模型时，概率为0的事件未必是一个不可能事件。 比如第⑵问中，直角三角形的概率为0（因为d的测度为0），它并不是不可能事件！并且，问题1