高中数学第二章解三角形 余弦定理学案含解析北师大版必修.docVIP

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1.2余弦定理

知识点一余弦定理

[填一填]

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即a2＝b2＋c2－2bccosA,b2＝c2＋a2－2cacosB,c2＝a2＋b2－2abcosC.

余弦定理有如下变形形式：

b2＋c2－a2＝2bccosA,a2＋c2－b2＝2accosB,a2＋b2－c2＝2abcosC；

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc),cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac),cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).

[答一答]

1．你能用正弦定理推导余弦定理吗？

提示：在△ABC中,由正弦定理得a＝2RsinA＝2Rsin(B＋C),R为△ABC外接圆的半径,

所以a2＝4R2sin2(B＋C)＝4R2(sin2Bcos2C＋cos2Bsin2C＋2sinBsinCcosBcosC)

＝4R2[sin2B(1－sin2C)＋(1－sin2B)sin2C＋2sinBsinC·cosBcosC]

＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sinBsinCcos(B＋C)]

＝4R2sin2B＋4R2sin2C－2(2RsinB)·(2RsinC)cosA

＝b2＋c2－2bccosA.

同理可推导出：b2＝c2＋a2－2cacosB,c2＝a2＋b2－2abcosC.

知识点二余弦定理与三角形形状的关系

[填一填]

(1)当A是直角时,cosA＝0,可得b2＋c2－a2＝0,所以有a2＝b2＋c2,△ABC为直角三角形；

(2)当A是锐角时,cosA0,可得b2＋c2－a20,所以有a2b2＋c2；

(3)当A是钝角时,cosA0,可得b2＋c2－a20,所以有a2b2＋c2,△ABC为钝角三角形．

[答一答]

2．解三角形时,选择正弦定理和余弦定理的标准是什么？

提示：要根据题目中给定的条件,灵活地选用,一般地,已知两边和一边对角或已知两角及一边时,通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时,通常选择余弦定理来解三角形,特别是求角时,尽量用余弦定理来解,可以避免分类讨论．

1．解三角形的常见类型及解法

已知条件

应用定理

一般解法

一边和两角,如a,B,C

正弦定理

由A＋B＋C＝180°,求A,由正弦定理求出b与c,有解时,只有一解

两边和夹角,如a,b,C

余弦定理

正弦定理

由余弦定理求出第三边c,由正弦定理求出a所对的角,再由A＋B＋C＝180°,求出B,有解时,只有一解

三边,如a,b,c,

余弦定理

由余弦定理求出A,B,再利用A＋B＋C＝180°,求出C,有解时,只有一解

两边和其中一边的对角,如a,b,A

正弦定理

由正弦定理求出B,由A＋B＋C＝180°,求出C,再利用正弦定理求出c,可有两解、一解或无解

2.判断三角形的形状

(1)在△ABC中,以下的三角关系式,在解答有关的三角形问题时经常用到,要记准、记熟、灵活地加以运用．

A＋B＋C＝π；

sin(A＋B)＝sinC,cos(A＋B)＝－cosC；

sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2),coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)等．

(2)三角形形状的判断．

先将条件中的边角关系由余弦定理统一为角角或边边关系,再由三角变形或代数变形分解因式,判定形状．在变形过程中要注意等式两端的公因式不要约掉,应移项提取公因式,否则会有漏掉一种解的可能．

类型一已知两边及一角解三角形

【例1】在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b＝3,c＝3eq\r(3),B＝30°,求a,A,C.

【思路探究】可先用余弦定理求出边a,再由正弦定理求出角A,C；也可先由正弦定理求出角C,然后求其他边和角．

【解】方法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB,得32＝a2＋(3eq\r(3))2－2a×3eq\r(3)×cos30°,∴a2－9a＋18＝0,解得a＝3或a＝6.

当a＝3时,a＝b,∴A＝30°,∴C＝120°.

当a＝6时,由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(6×\f(1,2),3)＝1,

∴A＝90°,∴C＝60°.

故a＝3,A＝30°,C＝120°或a＝6,A＝90°,C＝60°.

方法二：由正弦定理得sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(3\r(3)×\f(1,2),3)＝eq\f(\r(3),2),

又cb,∴C＝60°或120°.

当C＝60°时,A＝90°,由勾股定理得

a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(32＋(3\r(3))2)＝6.

当C＝120°时,A＝30°,△ABC为等腰三角形,∴a＝3.

故