高中数学第二章解三角形 解三角形的实际应用举例学案含解析北师大版必修.docVIP

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§3解三角形的实际应用举例

知识点一高度问题

[填一填]

知识点二距离问题

[填一填]

知识点三角度问题

[填一填]

测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值,再根据需要求出所求的角．

①坡角：坡面与水平面的夹角,如图(1)中的角α即为坡角．

坡比：坡面的铅垂高度与水平宽度之比,

即i＝eq\f(h,l)＝tanα.

②仰角与俯角是指在同一铅直平面内,视线与水平线的夹角,当视线在水平线之上时,称为仰角,当视线在水平线以下时,称之为俯角,如图(2)所示．

③方位角：从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平夹角,如方位角是60°,如图(3)所示．

方向角：相对于某一正方向的水平角,如北偏东60°,如图(4)所示．

[答一答]

1．测量高度问题的解题思路是什么？

提示：测量高度问题的解题思路是放在直角三角形中,根据所给的边、角的关系,求出与所求高相关的一条直角边的长,然后再求高．

2．测量距离问题的解题思路是什么？

提示：测量距离问题的解题思路是把所求的问题转化到三角形中,然后利用正弦定理、余弦定理求解．

3．除了高度问题、距离问题、角度问题外,正、余弦定理还解决哪些常见问题？

提示：计算面积问题、航海问题、物理问题等．

解与三角形有关的应用题的基本步骤和基本思路是什么？

解与三角形有关的应用题的基本步骤是：

(1)分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图,化实际问题为数学问题．

(2)建模：根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型．

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形中的未知量,求得数学模型的解．

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解．

解三角形应用题要注意几点：(a)理解问题的实际背景,明确已知和所求；(b)画示意图很关键,将实际问题抽象成解三角形模型；(c)求得三角形的解后要还原为实际问题的解．

这一思路描述如下：

类型一测量高度问题

【例1】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30m,至点C处,测得顶端A的仰角为2θ,再继续前进10eq\r(3)m至点D,测得顶端A的仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE的高．

【思路探究】∠ACE＝2θ,∠ABE＝θ?AC＝BC＝30,∠ADE＝4θ?AD＝CD＝10eq\r(3),∠ADC＝π－4θ.在△ACD中,利用正弦定理求出θ,进而在Rt△ADE中求出AE.

【解】如下图,∵∠ACD＝∠ABC＋∠CAB,

∴∠CAB＝θ,

∴AC＝BC＝30,

同理得到AD＝CD＝10eq\r(3).

在△ACD中,由正弦定理,

得eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(AC,sin∠ADC),

即eq\f(10\r(3),sin2θ)＝eq\f(30,sin(π－4θ))＝eq\f(30,sin4θ).

∵sin4θ＝2sin2θcos2θ,

∴可解得cos2θ＝eq\f(\r(3),2),∴2θ＝30°,θ＝15°.

∴在Rt△ADE中,AE＝ADsin60°＝15.

∴θ＝15°,建筑物AE的高为15m.

规律方法平面图形中,要重视图形的几何性质的应用．

(1)如下图所示,为测量某棵树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度为(A)

A．(30＋30eq\r(3))mB．(30＋15eq\r(3))m

C．(15＋30eq\r(3))mD．(15＋3eq\r(3))m

(2)在200m的山顶上,测得山下一塔的塔顶、塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为________m．(A)

A.eq\f(400,3) B.eq\f(400\r(3),3)

C.eq\f(200\r(3),2) D.eq\f(200,3)

解析：(1)在△ABP中,

由正弦定理可得eq\f(60,sin(45°－30°))＝eq\f(PB,sin30°),

则PB＝eq\f(60×\f(1,2),sin15°)＝eq\f(30,sin15°)(m),

则树的高度h＝PBsin45°＝(30＋30eq\r(3))(m)．

(2)如图,在Rt△CDB中,CD＝200m,∠BCD＝90°－60°＝30°,∴BC＝eq\f(200,cos30°)＝eq\f(400\r(3),3)(m)．在△ABC中,∠ABC＝∠BCD＝30°,∠ACB＝60°－30°＝30°,∴∠BAC＝120°,eq\f(BC,sin120°)＝eq\f(AB,sin30°),∴AB＝eq\f(B